习题4.1主要内容及教案内容

圆方程的应用

——习题4.1

A组教学设计

教学目标：1.复习圆的标准方程及一般方程；

2.

熟练运用圆方程和直线方程解决问题；

3.

让学生对解析几何的特征有进一步的了解。

教学重点：熟练使用圆方程

教学难点：代数法和几何法的训练使用及了解两种的优缺点

教学方法：课件和电教设备，讲练结合

教学过程：

一、复习旧知：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2, 圆心:(a,b)

半径长：r, 22xyDxEyy0，

圆的一般方程：圆心：(

半径长：r

（课件显示，并同时板书在黑板上）

例一：

22

22

22

222

DE,)

22D2E24F

2(1)xy2x50(2)xy2x4y40(3)xy2ax0(4)xy2by2b0详细讲解四个式子中的D，E，F，加深学生对D,E,F的理解

。然后让四个学生来黑板上板书，教师带领学生一块点评。这道题的难点是，（3），（4），半径应加绝对值。

参考答案：

（1）圆心：（1，0）；半径长：

r6（2）圆心：（-1，2）；半径长：

r3（3）圆心：（-a，0）；半径长：

r

a（4）圆心：（0，b）；半径长：

r

3|b|

例二：3.已知圆C的圆心在直线l：x-2y-1=0上，并且经过原点和A(2,1)，求圆C的方程。

解法一：设圆C的圆心(a,b),因为(a,b)在直线x-2y-1=0上，所以a-2b-1=0,即a=2b+1.所以圆心坐标为(2b+1,b)，

222圆方程为：



x



2

b

1





(

y



b

)



r

. 因为圆C经过原点和A(2,1)，所以：

222

02b1(0b)r

222b1(1b)2r2

此处给学生较多的时间（至少七八分钟）思考和演算，并让学生到黑板上演板，教师做好点评工作。

1629b,a,r2

解得：

105206129故圆C方程为：

(x)2(y)251020

（代数法）

解法二：由题意可求：线段OA所在的直线的斜率为1/2,所以线段OA的垂直平分线的斜率为-2，且由中点坐标公式得线段OA的中点坐标为（1，1/2),由点斜式直线方程可求得线段OA的直线方程为：4x+2y-5=0;

与直线x-2y-1=0联立方程组可求得圆心

61229坐标为（6/5,1/10)；

r2(0)2(0)51020圆C方程为：

61229(x)2(y)

51020

（以上为几何法）

在讲解这道题时，把用到的解析几何公式都板书在黑板上，带领学生一起复习，并熟悉这些公式的应用。用到的公式有：斜率公式，线线垂直的条件，中点坐标公式，点斜式直线方程，一般式直线方程，斜截式直线方程等。

练习题：A4，圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C的方程。

解一(代数法）：设圆心（a,0),则圆C方程为：

222

由题意得：

222

(1a)1r222

(1a)3r解得：a=2，

2r10

所以圆C的方程为：

(x2)2y210

(xa)yr

解二（几何法）：由题意得：k

A

B



1

,

所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-1.又线段AB的中点为：(0,2). 由斜截式直线方程得线段AB 的垂直平分线方程为：

y=-x+2.其与x轴的交点为(2,0), 既为圆C的圆心。由两点之间距离公式

得：

2r10所以圆C的方程为：

22

(x2)y10此处点为评，并以此两题为例，分析代数法和几何法的优劣性，代数法思路简单，但演算难度大；几何法虽说计算简单了，但用到的公式较多，知识含量大。同时强调，在圆这一章的题目中，多使用几何法解决问题。

小结：1，圆的标准方程和普通方程；

2，利用代数法求圆方程；

3，利用几何法求圆方程。（此处可以让学生自己总结一下，1.代数法和几何法的方法与过程，及注间事项，及学生自己对这两种方法的感悟）

作业：习题4.1

A组：2，5，6.