习题4.1教案公开课一等奖

圆的方程习题课教学设计

安吉县高级中学

韩志刚

一、教材分析

本节课是人教版必修二第四章《圆的方程》4.1圆的方程之后的习题课，它是针对4.1.1圆的标准方程和4.1.2圆的一般方程的巩固加深.强化和熟练求圆的方程的基本方法. 二、学情分析

本节课授课的对象是省一级重点中学实验班，它们独立思考、自主探究能力比较强，有很强的学习欲望.在知识储备上，前两节课已经熟悉圆的两种方程形式，并能运用几何法和待定系数法求圆的方程. 三、设计思想

本节课作为圆的方程之后的习题课，主要是处理求圆的方程这一问题，是一节方法技能习题课，故而本节课定位在方法的比较、总结、优化和反思.本节课的设计理念有两条，一是注重比较和总结.课堂选例以题组形式出现，在完成解题之后，安排学生回顾用到的解题方法，引导他们进行对照，从而总结出解决这一问题都有哪些基本方法？这些方法的使用范围是什么？它们的优劣体现在哪里？另一个是注重课堂生成.既然是方法技能课，当然要注重实用性，学生想到的办法好的要推广，不足的要分析哪里不足，在反思题升的过程中让学生对于方法的理解进入深层次. 四、教学目标

1.知识与技能

①掌握几何方法和待定系数法求圆的方程；

②理解几何方法，设圆的标准式，设圆的一般式这三种办法的适用范围和优劣性. 2.过程与方法

通过对于题组的解决，让学生总结求圆的方程都有哪些方法；然后对于这些方法的对比，理解几何方法，设圆的标准式，设圆的一般式这三种办法的适用范围和优劣性；然后通过习题的再训练，让学生在这些方法的选择性运用中反思提升. 3.情感态度与价值观

通过对比、归纳求圆的方程方法适用范围这一环节，培养学生从个例到一般的数学学科思维.在学习过程中通过学生的疑问、表达、探究、收获，培养学生积极进取，勇于探索的学习态度. 五、教学重点

掌握几何方法和待定系数法求圆的方程

六、教学难点

理解几何方法，设圆的标准式，设圆的一般式这三种办法的适用范围和优劣性

七、教学过程设计

1.复习回顾. 在此之前，我们学习了圆的方程的两种形式：标准式和一般式，下面我们借助几个小题回顾这两种形式：

题1.已知圆C满足圆心在C-3，4，半径长为5，则圆C方程为_____________. 题2.已知圆的方程为xy2x4y40，则圆心坐标为__________；半径为__________. 题3．方程xyax2ay2aa10表示圆，则a的范围是(

) A．a2或aC．2a0

222222

32a2

32D．2a

3B．2222设计意图：通过这三个小题，我们知道圆的标准方程为xaybr2，其中Ca,b为圆心，r为22半径；圆的一般方程为xyDxEyF0，特别需要注意系数要满足条件DE4F0.而

且我们能够熟练地把两种形式进行相互转化. 2.问题导入

例1.求满足下列条件的圆的方程

(1)圆心为点C8,3，且过点A5,1

(2)过点A1,2，且与两坐标轴同时相切

(3)过A1,5,B5,5,C6,2三点

设计意图：题组形式引出求圆方程的方法：几何法、待定系数法. 3.合作探究

3.1师生合作解题

(1)(2)两问由于难度不大，教师主导解答，(3)由学生思考解答，期望能得到几何法和设一般式的待定系数法. (1)rCA5，圆的方程为x8y325

22(2)由题意，圆心的横纵坐标相等，设xayaa2，代入A1,2，得1a2aa2，2222解得a1或a5，故圆的方程为x1y11或x5y525. 2222(3)法1.（几何法）线段AB的中垂线方程为l1:x2；线段BC中垂线方程为l2:y3111x，272x222联立3111，得圆心E2,1，半径rEA5，故圆E:x2y125

y27x2法2.（待定系数法）设圆E:xyDxEyF0，将三个点代入方程，得到方程组：

22D5EF260D4225D5EF500，解得E2，故圆E:xy4E2F200

6D2EF400F20教师追问：这里是设标准式还是设一般式计算简便？

3.2教师引导，学生思考，总结求圆方程的办法以及适用范围和优劣性

问题1.我们解决了例1中的三个小题，都用到哪些方法来求圆的方程？

期望回答：几何法和待定系数法

教师针对学生实际回答点评后给出展示：

几何方法求圆心坐标求半径写出圆的方程222列出a,b,r或解出a,b,r或设方程为xaybr写出方程待定系数法22D,E,FD,E,F的方程或xyDxEyF0问题2.我们把几何方法和标准式归为一类，叫做求圆心，求半径；那么什么时候用求圆心求半径，什么时候设圆的一般式？

师生活动：没有标准答案，让学生大胆说说自己的体会，教师找出亮点给予肯定.之后展示以下内容

当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出

的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合求圆心求半径．对于有些题，俩种办法都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析. 设计意图：让学生从针对单个题目的零散办法上升到解决一类问题的有系统性，选择性的一般方法. 4.课堂演练

练习1.求与x轴相交于A1,0和B5,0两点且半径为5的圆的方程. 练习2.已知圆C的圆心在直线l:x2y10上，并且经过原点和A2,1，求圆C的方程. 设计意图：给学生机会，让他消化课堂的体会，并在体会的引导下，选择合适的方法. 5.

综合运用

例2.已知方程x2y22x4ym0．

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线4x3y50相交于M、N两点，且CMCN(C为圆心)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

解答：(1)x1y25m，故5m0，得m5. 22(2)作CEMN，垂足为E，CEdCl3，故r32，故m13. (3)已知直线MN方程l1:4x3y50，可求得线段MN的中垂线方程l2:3x4y50，联立

224x3y507171，得圆心E,，又半径r3，故圆E:xy9

55553x4y50师生活动：针对（2）的求半径，（3）的求圆心，引导学生从几何法的角度入手. 课堂预设：第（3）问学生有可能从方程角度去解出MN的中点坐标. 设计意图：本题侧重于几何法，加深学生在圆这一章运用数形结合的思维. 例3.如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和26，高为3．

(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；

(2)若点N的坐标为5，

2，点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．解答：(1)由题意，A3,0,B3,0,C2由EBEC，6,3,D6,3.设E0,t，2得32t26t3，解得t1，rEB10，故圆E:x2y110. x05xx02x52(2)设Px,y,Mx0,y0，由中点公式，即；根据点M在圆E上，有y2y2y20y02552x0y0110，从而2x52y210，化简得xy1. 2222222

师生活动：针对第（2）问引导学生回顾求轨迹方程就是要求动点横纵坐标x,y满足的等量关系. 课堂预设：第（1）问学生有可能设圆的一般式，要肯定学生的想法；第（2）问可能设Px0,y0,Mx,y

教师适当纠正. 设计意图：本题求圆的方程两种方法都有优势；求轨迹方程在本节有涉及到，属于发展要求，故本课安排简单的求轨迹方程. 6.课后思考

思考.在平面直角坐标系xoy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆的方程. 设计意图：体现一般式比求圆心求半径优势的例子，理解一般式与方程的联系. 7.课堂小结

本节课需要小结的有两点：求圆的方程有两种办法：几何法和待定系数法；求圆心求半径和设圆的一般式适用范围和优劣性体现.针对这两点，以一首打油诗小结，如下：

标准式，一般式；圆的形态有两种. 用几何，用待定；常常还是找圆心. 过的点多一般式；偏重性质求圆心. 要是两者皆可行；又好又快算你赢. 8.课后作业

题1.已知两定点A2,0,B1,0，若动点P满足PA2PB，则P的轨迹为

A. 直线

B. 线段

C. 圆

D. 半圆

题2.已知圆C的圆心在直线l:x2y10上，并且经过原点和A2,1，求圆C的标准方程. 题3.已知方程x2y22x4ym0．

(1)若圆与直线x2y40相交于M、N两点，且OMON(O为坐标原点)，求m；

(2)在(1)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

八、反思

本节课是一节习题课，以总结方法、加深理解；暴露思维、强调实用为主旨.设计上比较突出总结方法，有台阶式的设计让学生加深对于方法的理解.在课堂上要注意给不同学生表达不同意见的机会，在想法的碰撞下提炼产生的一般性的想法.总结的方法最终要运用于实践，本节课设计了学生独立完成的课堂演练环节，要针对学生的解答作修正性解答和一般性的拓展.在综合运用环节，要把握好讲解、引导、和放手让学生思考的合理分配，在课堂顺畅进展的前提下充分暴露学生的思维.