3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案推荐

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一．创设情景

四种常见函数yc、yx、yx2、y函数

导数

1的导数公式及应用

xyc

yx

y'0

y'1

yx2

y1

xy'2x

y'1

2xyf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

二．新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

y'nxn1

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna

f(x)lnx

（二）导数的运算法则

导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

'f'(x)1

x''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

'f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)

'（2）推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)1.05ln1.05

所以p(10)1.05ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx2x3

（2）y

＝3'10't11；

1x1x（3）y

＝x · sin x · ln x；

x；

4x1lnx（5）y

＝．

1lnx（4）y

＝

（6）y

＝（2 x2－5 x

＋1）ex

（7）

y

＝sinxxcosx

cosxxsinx【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%

（2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()2100x(100x)'0(100x)5284(1)5284

22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变(10090)2（1）

因为c(90)'化率是52.84元/吨．

（2）

因为c(98)'52841321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变2(10090)化率是1321元/吨．

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

四．课堂练习

1．课本P92练习

2．已知曲线C：y

＝3 x

4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（y

＝－12 x

＋8）

五．回顾总结

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

六．布置作业

§1.2.2复合函数的求导法则

教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点

正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

（二）导数的运算法则

y'0

y'nxn1

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xf'(x)导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)

'（2）推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念

一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)。

复合函数的导数

复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)和ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

若yfg(x)，则yfg(x)fg(x)g(x)

三．典例分析

例1求y

＝sin（tan x2）的导数．

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例2求y

＝xax2ax2的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例3求y

＝sin4x

＋cos 4x的导数．

【解法一】y

＝sin 4x

＋cos 4x＝(sin2x

＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－12sin2 x

2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

444【解法二】y′＝(sin

4

x)′＋(cos

4

x)′＝4 sin

3

x(sin x)′＋4 cos

3x (cos x)′＝4 sin

3

x cos x

＋4 cos

3

x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin

2

x

－cos

2

x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例4曲线y

＝x（x

＋1）（2－x）有两条平行于直线y

＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y

＝－x

3 ＋x

2 ＋2 x

y′＝－3 x

2＋2 x

＋2

令y′＝1即3 x2－2 x

－1＝0，解得

x

＝－于是切点为P（1，2），Q（－1或x

＝1．

3114，－），

327过点P的切线方程为，y

－2＝x

－1即

x

－y

＋1＝0．

114|1|163272．

显然两切线间的距离等于点Q

到此切线的距离，故所求距离为＝272四．课堂练习

1．求下列函数的导数 (1) y

=sinx3+sin33x；（2）y2.求ln(2x23x1)的导数

五．回顾总结

六．布置作业

sin2x;(3)loga(x22)

2x1