小结教案设计范例

章末复习

学习目标

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法．

1．几何体的概念、侧面积与体积

名称

定义

有两个面互相平行，其棱柱

余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

图形

侧面积

S侧＝ch，c为底面的周长，h

为高

1S正棱锥侧＝2ch′，c为底面

的周长，h′为斜高

1S正棱台侧＝(c＋2用一个平行于棱锥底面棱台

的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

V＝Sh

体积

有一个面是多边形，其多

面

体

棱锥

余各面都是有一个公共顶点的三角形

1V＝Sh，h为3高

1V＝(S上＋S下3c′)h′，c′，c为上、下底面

的周长，h′为斜高

＋S上S下)h，h为高

以矩形的一边所在直线圆柱

旋

转

体

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高

V＝Sh＝πr2h

S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线

11V＝Sh＝33πr2h

用平行于圆锥底面的平圆台

面去截圆锥，底面和截面之间的部分

以半圆的直径所在直线球

为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体

2.空间几何体的三视图与直观图

S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线

1V＝(S上＋S下3＋S上S下)h＝122π(r＋r＋312r1r2)h

S球面＝4πR2，R为球的半径

4V＝πR3

3(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；

它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．

(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.

(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面

①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．

②等积变换，如三棱锥转移顶点等．

③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．

1．菱形的直观图仍是菱形．(

×

) 2．正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

×

) 3．多面体的表面积等于各个面的面积之和．(

√

) 4．简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(

√

)

类型一

几何体的结构特征

例1

下列说法正确的是________．(填序号) ①棱柱的侧棱长都相等；

②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；

③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；

④棱台的侧面是等腰梯形．

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

①

解析

②不正确，例如六棱柱的相对侧面；

③不正确，如图；

④不正确，侧棱长可能不相等．

反思与感悟

与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧

(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．

(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可．

跟踪训练1

根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．

(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是________________________________________________________________________；

(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是________________________________________________________________________；

(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是________________________________________________________________________．

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

(1)正六棱柱

(2)圆台

(3)一个圆锥和一个圆柱的组合体

类型二

直观图与三视图

例2

(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

考点

三视图与直观图

题点

由部分视图确定其他视图

答案

B 解析

由正视图和俯视图可得该几何体如图所示，故选B.

(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

)

A．1

B.2

C.3

D．2 考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

答案

C 解析

该四棱锥的直观图是如图所示的四棱锥V－ABCD，

其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1，

所以四棱锥中最长棱为VD，连接BD，由三视图可知BD＝2，在△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.故选C. 反思与感悟

(1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示．

(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；

②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

跟踪训练2

(1)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为(

)

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

答案

B 解析

由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上半部分的圆锥比下半部分的圆锥高，所以正视图应为B. (2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

考点

简单组合体的三视图

题点

切割形成几何体的三视图

答案

D 解析

A的正视图如图(1)，B的正视图如图(2)，故均不符合题意；C的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选D.

类型三

空间几何体的表面积和体积

例3

如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．

考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

解

所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，

∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，

S柱侧＝2πrl2＝2π·DG·FG＝23π，

∴所求几何体的表面积S＝S锥表＋S柱侧＝12π＋23π＝2(6＋3)π.

1183由V圆锥＝π·BD2×AD＝π×22×23＝π，

333V圆柱＝π·HD2×EH＝π×12×3＝3π，

∴所求几何体的体积为

8 35 3V圆锥－V圆柱＝π－3π＝π.

33反思与感悟

1.空间几何体表面积的求法

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪训练3

如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(

)

A.3366

B.

C.

D.

124124

考点

柱体、锥体、台体的体积

题点

锥体的体积

答案

A 3333解析

V三棱锥B－ABCV三棱柱ABC－ABCV三棱锥A－ABCV三棱锥C－ABC＝－－＝. 41212121111111111．关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是(

) A．棱锥的侧棱长都相等

B．三棱台的上、下底面是相似三角形

C．有的棱台的侧棱长都相等

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构判断

答案

A 解析

根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

A．圆柱

B．圆锥

C．四面体

D．三棱锥

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

答案

A 3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(

)

A.92π＋12

B.92π＋18 C．9π＋42

D．36π＋18

)

考点

三视图与直观图

题点

由三视图求几何体的表面积与体积

答案

B 433解析

由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2329＝π＋18. 24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A．180

B．200

C．220

D．240 考点

柱体、锥体、台体的表面积

题点

柱体的表面积

答案

D 解析

由三视图可知该几何体是个四棱柱．棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上2＋8底为2，下底为8，高为4，腰长为5.所以梯形的面积为×4＝20，梯形的周长为2＋82＋2×5＝20.所以四棱柱的表面积为20×2＋20×10＝240. 5．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．

考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

答案

1

24解析

设三棱柱的高为h，

h∵F是AA1的中点，∴三棱锥F－ADE的高为，

2

1∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC，

41h∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，

321S△·hV16ADE1∴＝＝. V2S△ABC·h24

1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．

2．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决.

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

B．底面是矩形的平行六面体是长方体

C．棱柱的底面一定是平行四边形

D．棱锥的底面一定是三角形

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构判断

答案

A 解析

平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱，故A正确；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，故B错误；三棱柱的底面是三角形，故C错误；四棱锥的底面是四边形，故D错误．故选A. 2．下列说法不正确的是(

) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形

B．圆锥中过圆锥轴的截面是一个等腰三角形

C．四棱锥有五个顶点

D．用一个平面截一个圆柱，所得截面可能是矩形

考点

空间几何体

题点

空间几何体结构应用

答案

C

解析

由棱锥顶点定义可知，四棱锥只有一个顶点，故选C. 3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是(

)

A．①②

C．①③

考点

三视图与直观图

题点

由部分视图确定其他视图

答案

B 解析

根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．

4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该1术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上367是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公264式中的圆周率π近似取为(

) 157A.

5023C.

7考点

柱体、锥体、台体的体积

题点

锥体的体积

答案

D 解析

设圆锥的底面半径为r，

L12L2h则圆锥的底面周长L＝2πr，∴r＝，∴V＝πrh＝. 2π312πL2h722令＝L2h，得π＝，故选D. 12π26475．某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

) 25B.

822D.

7B．②③

D．①②③

考点

三视图与直观图

题点

由部分视图确定其他视图

答案

D 解析

根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是B；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是C；D为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选D. 6．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(

) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

考点

平面图形的直观图

题点

平面图形的直观图

答案

B 解析

由直观图的性质知B正确．

7．某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是(

)

A．13π

B．16π

C．25π

D．27π

考点

球的表面积

题点

与外接、内切有关球的表面积计算问题

答案

C 解析

该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，

∴长方体底面边长为22. 设长方体外接球半径为r，

5则2r＝222＋222＋32＝5，∴r＝，

2∴长方体外接球的表面积S＝4πr2＝25π.故选C. 8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1111A.

B.

C.

D.

8765考点

三视图与直观图

题点

由三视图求几何体的表面积与体积

答案

D 解析

由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，

如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，

111则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，

32615剩余部分的体积V2＝13－＝. 661V161所以＝＝，故选D. V2556二、填空题

9．如图，正方形ABCD的边长为1，CE所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为________．

考点

组合几何体的表面积与体积

题点

柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积

答案

5π

解析

由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，

∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，

∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，

1∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π.

2110.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则4油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．

考点

柱体、锥体、台体的体积

题点

柱体的体积

11答案

－

42π解析

设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，

由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，

1212x11πR－Rh＝πR2x，所以＝－. 则24h42π11．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．

考点

组合几何体的表面积与体积

题点

柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积

答案

3∶4(或4∶3) 解析

设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则

V三棱台ABC－A1B1C1＝3(S0＋4S0＋2S0)h＝3S0h，

V三棱柱FEC－A1B1C1＝S0h. 74设剩余的几何体的体积为V，则V＝S0h－S0h＝S0h，

3317

所以体积之比为3∶4或4∶3. 12．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．

考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

答案

8 解析

如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.

三、解答题

13．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

考点

组合几何体的表面积与体积

题点

柱、锥、台、球组合的几何体的表面积与体积

解

(1)该几何体如图所示，

(2)该几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝2 cm，A1D1＝AD＝2 cm，

可得PA1⊥PD1. 1故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2××(2)2＝22＋42(cm2)，

2

1所求几何体的体积V＝23＋×(2)2×2＝10(cm3)．

2四、探究与拓展

14．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

) A．36π

B．64π

C．144π

D．256π

考点

球的表面积

题点

与外接、内切有关球的表面积计算问题

答案

C 解析

如图所示，设球的半径为R，

∵∠AOB＝90°，

1∴S△AOB＝R2. 2∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB，

而△AOB的面积为定值，

∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大，

∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，

111此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36，

326解得R＝6，

则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.故选C. 15．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)

考点

柱体、锥体、台体的表面积与体积

题点

其他求体积、表面积问题

解

过C作CO1⊥AB于点O1，由已知得∠BCA＝90°，

∵∠BAC＝30°，AB＝2R，

∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝∴S球＝4πR2，S圆锥AO侧＝π×13R. 233R×3R＝πR2，

22S圆锥BO1侧＝π×2R×R＝2πR2，

∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO侧＋S圆锥BO侧

113311＋3233＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR. 2224又∵V球＝πR3，

32AO1·π·CO2AO1，

V圆锥AO1＝3·1＝πR·42BO1·π·CO2BO1，

V圆锥BO1＝3·1＝πR·411115∴V几何体＝V球－(V圆锥AO＋V圆锥BO)＝πR3.

611