信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教学设计及说课稿

信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆 教学设计

马娟

一、教学目标

1.通过具体情节，发现动点运动的原因，掌握求动点的轨迹方程的方法（如：代入法、坐标法、定义法），能正确书写方程并进行化简；

2.归纳求曲线的方程的步骤，理解曲线与其方程的关系；

3.认识并应用几何画板，追踪动点模拟轨迹，能猜测验证轨迹方程，感受方程和数形结合的思想，感受信息技术在数学中的高效性，激发学习热情。

二、教学重难点

1.重点：探究点的轨迹，选择合适的方法求出轨迹方程，并能翻译方程的几何意义；

2.难点：利用《几何画板》模拟轨迹，想象数学模型。

三、教学过程

（一）回顾复习

师：《几何画板》是由美国KCB公司制作并出版，1996年由人民教育出版社正式发行它的中文版，它被誉为“21世纪动态几何”，今天，我们就利用几何画板，来探究点的轨迹：圆。

【问题1】在平面直角坐标系中，圆的曲线是怎么形成的？

生：在平面内，一动点以一定点为中心，以一定长为距离旋转一

周所形成的封闭曲线叫圆。

【问题2】圆的方程(xa)2(yb)2r2(r0)是怎么推导得到的？

生：

|MA|r,M(x,y),A(a,b)由两点间距离公式:(xa)2(yb)2r(xa)2(yb)2r2【问题3】圆的曲线与圆的方程之间有什么关系？

生：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上。

师：

曲线与方程

在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的几何或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

【设计意图】学生在初中就学过圆，知道圆的定义；在高中，学习了圆的方程，理解圆的方程与圆的几何要素之间的关系。本环节通过三个问题，引导学生从曲线与方程的角度再认识圆，接触了简单的动点运动形成轨迹的方程求解方法，在《几何画板》的辅助下，验证

了轨迹与方程的关系，感受数形结合的思想，通过给出曲线与方程的定义，深度理解方程的思想。

（二）合作探索

1.已知线段AB的端点B的坐标为(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【问题4】引起M点变动形成曲线的原因是什么？

生：M是线段AB的中点，A在圆上运动，M被动运动。

【问题5】变动过程中不变的关系是什么？用坐标表示。

生：

解：设M(x,y),A(x0,y0)M是线段AB的中点由中点坐标公式x04x2yy032

【问题6】怎么建立M点的横坐标x与纵坐标y之间的方程关系式？

生：

A(x0,y0)满足圆的方程(x1)2y24(x01)2y04(1)x02x4又(2)y02y3(2)代入(1),得(2x41)2(2y3)24即(2x3)2(2y3)24展开并化简，得到3232(x)(y)12233这是M的轨迹方程，它是以(,)为圆心，1为半径的圆.22【问题7】求轨迹方程有哪几个步骤？

生/师：

(1)建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)设点：写出适合条件的P(M)的集合P={M|P(M)}；

(3)表示：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4)化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；

(5)结论：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

【设计意图】数学建模的过程是复杂的，本环节通过四个问题层层递进，给学生的思维指明方向，将问题解决的途径逻辑化。通过小组讨论，合作互评，学生对解决点的轨迹的问题有了质的认识，从而归纳出一般步骤，将抽象思维具体化，复杂问题简单化，解题方法模式化，有利于数学建模思想的发展，感受方程思想。

（三）自主发现

2

2.等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边另一个端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形。

生1：由定义：动点以定长绕定点运动，形成的轨迹是圆

C的轨迹是以A(4，2)为圆心，AB为半径的圆|AB|(4-3)2(2-5)210轨迹方程为(x4)2(y2)210生2：由坐标：

设C(x,y)|AC||BA|由两点间距离公式(x4)2(y2)2(34)2(52)2两边平方，化简得(x4)2(y2)210M点的轨迹是以(4,2)为圆心，10为半径的圆【问题8】点C在圆上运动时，不管在什么位置都满足ABC为等腰三角形吗？哪些点不满足。

生：当点C与点B重合时不满足，即(3,5)不满足；

当A、B、C三点共线时也不满足，此时A为BC的中点

由中点坐标公式3x4x52

y125y2即(5,-1)不满足。

【设计意图】学生通过回顾、探究环节所掌握的思维经验，在本环节进行一定的拓展，引导学生由数形结合的思想，发现解决问题的方法，从而得到定义法和坐标法去解决点的轨迹的方法。数学的思维是完备的，本题中C点有两处不满足，是学生的难点，通过小组合租探究，加深对轨迹方程的理解。

（四）巩固练习

3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。

【设计意图】本环节的图形想象是个难点，《几何画板》的应用恰好突破了这一难点，学生在思考的同时能参考动点的运动，找到变化和不变的因素，通过关系式解决问题，充分的利用了信息技术，完

成了教学任务。

（五）课堂小结

求动点形成的轨迹方程：圆，有哪几种方法？

生1：代入法：求出动点M(x,y)与定点A(x0,y0)的坐标关系，代入并消去A点坐标，得到M的横纵坐标之间的关系式，即为轨迹方程。

生2：定义法：一动点以一定点为中心，以一定长为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆，找到圆心和半径得到圆的方程。

生3：坐标法：设点M(x,y)，找到动点满足的关系，用坐标表示M点的集合P={M|P(M)}，得到方程f(x,y)=0，化简得到结论。

（六）作业布置

1.若RtABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，求直角顶点C的轨迹方程。

2.已知点A(-3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹方程。

四、教学反思

1.由于条件的限制，学生没有亲自操作《几何画板》，只涉及了初步的认识，在以后的课程中可以尝试让学生自己操作，培养信息技术的应用能力；

2.学生能根据坐标法、代入法求解点的轨迹方程，对于定义法发现点的性质较为困难，数形结合还有待提高。