第四章 圆与方程（通用）获奖说课稿

4.2.1直线与圆的位置关系（二）教学设计

工作城市：广东阳江

工作单位：广东两阳中学

姓

名：张

小

宇

联系电话：15986279008

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4.2.1直线与圆的位置关系（二）教学设计

（人教A版本第四章第二节）

教材分析: 圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。

学情分析：

学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的三种位置关系；能根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

2、过程与方法

（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式；

（2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力；

3、情感态度与价值观

（1）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想；

（2）加深对解析法解决几何问题的认识，激发学习热情，培养学生的创新意识和探索精神；

【重点难点】

1、重点：直线与圆的位置关系及其判断方法；

2、难点：体会和理解解析法解决几何问题的数学思想；

【教学基本流程】

创设情境

典例剖析

探究新知

变式训练

知识归纳

作业布置

【教学设计】

一、创设情景，回顾知识

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问题1：“海上生明月，天涯共此时”是唐代诗人张九龄的诗句，抒写了对远方亲人的一片深情。

全诗情景交融，细腻入微，情真意永，感人至深。如果我们把明月看成一个圆，海平面看成一条直线，直线与圆的位置关系有几种？

【解析】直线与圆的位置关系有三种：

图形

公共点个数

d与r的关系

相交

相切

相离

2

1

0 dr

dr

dr

问题2 2：直线与圆的位置关系的判断方法：

【解析】:设直线l:AxByC0，圆C:(xa)2(yb)2r2，

（1）几何法：求圆心到直线的距离：d|AaBbC|AB22，

AxByC0（2）代数法：联立方程，消元，考查其判别式，

222(xa)(yb)r相交dr0；相切dr0；相离dr0；

二、典例剖析

例1、如图，已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40，

判断直线l

与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

分析：方法一：判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组

成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离

与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；

(1)3xy602解法一：联立方程2消去y得：x3x20，

2xy2y40(2)因为10，所以直线l与圆相交，有两个公共点. 解法二：圆xy2y40可化为x(y1)5，圆心C(0,1)，半径r5

2222C(0,1)到直线l

的距离d25105，所以直线l

与圆相交，有两个公共点. 210由x3x20，解得x12，x21，

把x12代入方程（1），得y10；把x21代入方程（1），得y23；

所以，直线l

与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A(2,0),B(1,3)

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对比两种解法，哪种方法更优越？通过例1对这两种方法加以巩固，并总结出：如果单纯判断直线与圆的位置关系，用几何法简单，如果就直线与圆的交点，用代数法简单。

三、探究新知：

师：同学们，第一节课已经研究完了例1，大家感觉是不是有点意犹未尽的感觉，大家看看能不能A(2,0),B(1,3)这两个点发掘点东西？

生（1）：老师，可以求下AB的弦长，用两点间的距离公式可以求出。

师：很好，同学们如果这两点坐标不好求呢，用两点间距离求就很麻烦，还有其他解法吗？

生（2）：用几何法圆心到直线的距离和半径和弦长一半存在勾股定理。

师：很棒，同学们总结出了弦长公式的两种方法，同学们在想例1还可以求什么？

生（3）：老师，可以求弦的中点坐标，利用中点坐标公式，也可以用韦达定理。

师：太有才了，同学们在想想还可以求什么？

生（4）：老师可以求线段AB的垂直平分线方程，利用圆心坐标，利用A，B的坐标，求出直线AB的斜率（斜率公式）。

师：崇拜你，如果A，B坐标不好求怎么求直线AB的垂直平分线方程？还有其他方法吗？

生（5）：可以借助弦AB的中点M和圆心坐标C，求出MC的斜率，在利用垂直斜率之积为-1

师：漂亮，同学们已经总结出三道变式题了如下：

变式1：在例1前提下，求出直线与圆相交A，B两点的弦长。

（设计意图：让学生通过已知两点，用两点间胡距离求弦长。）

变式2：在例1前提下，求出直线与圆相交A，B两点中点坐标。

（设计意图：让学生通过已知两点，利用中点坐标和韦达定理求中点坐标。）

变式3：在例1前提下，求线段AB的垂直平分线方程。

（设计意图：让学生知道垂直平分线与中点坐标紧密联系在一起的。）

师：同学们，再想想如果动直线与定圆位置关系能不能确定?看下题

变式4：已知直已知直线l:kxyk10和圆心为C的圆xy2y40，

判断直线l

与圆的位置关系。

（设计意图：通过此变式让学生体会两种方法各自的优点，动直线与定圆的位置关系用特殊点法简单）

师：同学们用什么方法算啊？

生：几何法。

师：你们试试吧! （学生用点到直线的距离算了起来，各个同学都觉得麻烦）

师：大家是不是算的挺痛苦，这个时候大家看看直线方程特点是不是有个定点Q（

那么你们看1，1）22（1，1）看定点和圆C有什么样的位置关系？

生：圆内

师：那这个点在直线上，也圆内，你们懂得的啊！

生：啊。。。。。。。

师：正所谓一点定乾坤，但是只能判断直线与圆相交。

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例2、已知过点M(3,3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45，求直线l的方程；

解：圆的标准方程为x2(y2)225，圆心C(0,2)，半径r5. 所以弦心距d5(25)5，

由已知，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30，

根据点到直线的距离公式，d因此，22|3k1|1k2，

|3k1|1k25，即|3k1|55k2，

1，或k2，

2所以，所求直线方程为：x2y90，或2xy30. 2两边平方，并整理得2k3k20，解得k-变式1：已知过点M(3,3)的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为8，求直线l的方程；

（设计意图：通过此变式让学生体会特殊位置的斜率不存在的直线不要丢）

22解：圆的标准方程为x(y2)25，圆心C(0,2)，半径r5. 所以弦心距d52423，

由已知，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy3k30，

根据点到直线的距离公式，d因此，|3k1|1k2，

|3k1|1k2经检验，x30适合题意，

所以，所求直线方程为：4x3y210，或x30；

221|313，即|3k4k2，解得k，直线方程为：4x3y210，

3变式2：过点M(3,3)的直线l被圆xy4y210所截

(1)求截得的最长弦所在的直线方程；

(2)求截得的最短弦所在的直线方程. （设计意图：通过此变式让学生体会到动态直线如何如何求弦长最值，体现了数形结合重要性）

分析(1)：因为圆内直径是最长的弦，所以直线被圆所截最长的弦过圆心过M(-3,-3)，C(0,-2)的直1所求直线方程为：x-3y-6=0 3分析(2)：即3xy120当

lMC

时，弦心距d最大，

线kMC从而让所截得弦长最短.直线CM的斜率为kMC1,所求直线l方程y33(x3)

3五、知识归纳

1、知识：（1）直线与圆的位置关系的判断；（2）弦长问题；

（3)弦中点和弦垂直平分线问题

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2、思想方法：（1）坐标法的思想；（2）数形结合思想。

六、作业布置

1、作业：课本132页习题4.2

A 2，3，5；B4；

七、教学反思

1、本节课主要内容是如何运用坐标法判断直线与圆的位置关系，通过实例，让学生观察分析，合作探究，类比归纳，形成知识体系，帮助同学们养成良好的学习态度，培养勤奋刻苦的精神；

2、学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用。要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流，把课堂还给学生，引导学生主动探究与思考，让学生真正参与到课堂中来. 3、本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。

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