第四章 圆与方程（通用）教案评析

第三节

圆的方程

[考纲传真]

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．圆的定义及方程

定义

标准方程

2平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，(D＋E2－4F＞0) 22圆心(a，b)，半径r

ED圆心－2，－2，

1半径2D2＋E2－4F 一般方程

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(

) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

) 2(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0.(

) [解析]

由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．

(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．

[答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(

)

1

2A．a＜－2或a＞3

C．－2＜a＜0

2B.－3＜a＜0 2D.－2＜a＜3

D

[由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，

2解得－2＜a＜3.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(

) 4A．－3

C.3

3B.－4

D.2 A

[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|4＝1，解得a＝－.] 23a＋14．(2017·西安质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

x2＋(y－1)2＝1

[两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.] x2y25．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程164为________．

x－32＋y2＝25

[由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标24为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)＋y22m＋4＝r，＝r(00)，则224－m＝r，222

3m＝，2解得25r＝4，2

32225所以圆的标准方程为x－＋y＝.] 42

求圆的方程

(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆

2

心到原点的距离为(

) 5A.3

C.25

321B.3

4D.

3(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线452x－y＝0的距离为5，则圆C的方程为________．

(1)B

(2)(x－2)2＋y2＝9

[(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC223的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝3|AD|＝3，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝4211＋3＝3，故选B.

法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，1＋D＋F＝0，

D＝－2，43解得E＝－3，F＝1.

23. 所以△ABC外接圆的圆心为1，3因此圆心到原点的距离d＝21232＝12＋3. 3(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，

2a45所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝5，

5解得a＝2，

所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]

3

[规律方法]

1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．

[变式训练1]

(2017·河南百校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．

x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

[法一

∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，

∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．

1易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－2(x－4)．

2a－b－3＝0，设所求圆的圆心为C(a，b)，则有1b＝－2a－4，解得a＝2，且b＝1. 因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，则DE－＋－3＝0，2×22

解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，

∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.]

已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

与圆有关的最值问题

4

(2)求y－3的最大值和最小值．

x＋2[解]

(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22. 又|QC|＝2＋22＋7－32＝42，

∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22. (2)可知y－3表示直线MQ的斜率k. x＋2设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0. |2k－7＋2k＋3|由直线MQ与圆C有交点，所以≤22，

1＋k2可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3的最大值为2＋3，最小值为2－3. x＋2[迁移探究1]

(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．

[解]

设y－x＝b，则x－y＋b＝0. 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，

|2－7＋b|∴2＝22，∴b＝9或b＝1.因此y－x的最大值为9，最小值为1. 1＋－12[迁移探究2]

(变换条件结论)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．

[解]

∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0 |2×3＋7×4＋1|的距离，∴|QC|min＝d＝＝7. 32＋42又圆C的半径r＝22，∴|MQ|的最小值为7－22. [规律方法]

1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．

2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．

[变式训练2]

设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值．

5

[解]

圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，2分

圆心为C(1,1)，半径为r＝1.5分

1根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×2|PA|r＝|PA|＝|PC|2－r2. 要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线

l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|1022＝5＝2. 3＋－42所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2min－r＝4－1＝3.

与圆有关的轨迹问题

(2014·全国卷Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

[解]

(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.2分

→→设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．

→→由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.5分

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．

又P在圆N上，从而ON⊥PM.7分

1因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－3，

18故l的方程为y＝－3x＋3.10分

41041016又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为5，|PM|＝5，所以△POM的面积为5.12分

[规律方法]

求与圆有关的轨迹问题的四种方法

(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．

(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．

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(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．

(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．

[变式训练3]

已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|＝|AB|，求点C与点P(1,4) 所连线段的中点M的轨迹方程.

[解]

由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，

方程为(x＋1)2＋y2＝9. 设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，

2代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)＝9，

化简得922x0＋(y0－2)＝，故点49M的轨迹方程为x＋(y－2)＝4. 22

[思想与方法] 1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．

[易错与防范] 1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．

2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数三个独立方程．

3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．

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