习题2.3教学设计一等奖

直线、平面垂直的判定及性质习作课教学设计

开课老师：漳州二中杨幼妹

一、教学内容分析

本节的内容是基于高中教材必修2第二章第3节直线、平面的判定及性质的一节习题课教学。垂直问题在立体几何中占有重要的地位，是历届高考命题的热点.空间中的垂直关系有三种：线线垂直、线面垂直、面面垂直。线线垂直是基本、线面垂直才是核心，它在三种关系转化过程中起着穿针引线的作用。

二、学生学习情况分析

学生已经学了直线、平面垂直的判定及性质。

且能够运用所学知识解决一些简单证明及求值问题。我校学生基础较薄弱，刚开始接触立体几何，从平面几何到空间立体几何的过渡，学生在学习上有些困难，空间转化能力、基本运算能力、自主探究能力有待提高。立体几何书写步骤规范性要求特别严格，我校学生学习习惯特别差，多数学生书写不规范，本节课继续规范书写。

三、教学目标

1、线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明及运用；

2、通过一题多变、一题多解，循序渐进，帮助学生建立空间观念，实现二维空间和三维空间的熟练转化，掌握三种垂直关系证明的通性通法，让学生领悟立几证明之万变不离其宗，能将知识点融会贯通、举一反三；

3、发展学生空间观念与推理能力。

训练学生化归及转化的数学思想，培养学生质疑思辨、严谨细致的学习习惯。

四、教学重点

掌握证明三种垂直关系的常见推理办法。

五、教学难点

如何寻找证明思路。

六、教学活动

活动1. 复习线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，提炼出三种垂直关系的主线。

活动2. 课本74页习题B组第2题。

如图，棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，你能判定CD⊥AB以及AC=BC吗？

VACODB

证明：

VAVB，ADBDVDAB又VO平面ABC，AB平面ABCVOABVDVOV，VO、VD平面VDCAB平面VDC

又DC平面VDCCDAB在平面ABC中，CDAB，ADBDCD是线段AB的垂直平分线CACB有所悟：要证明线线垂直，可通过①等腰三角形三线合一；②线面垂直证得。

变式一

（2017年全国高考新课标Ⅰ卷，18题改编）已知PA=PB，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，求证AB⊥PC. PABCD

点拨：PA=PB，取AB中点M，连结PM、MC，则PM⊥AB。

要证AB⊥PC，只需证AB⊥平面PMC即可

（请同学们自己证明，老师投屏展示、批改作业）

有所悟：几何体证明、求值，最好优先理清楚某个面上图形的边角关系，这个面通常在下面。

变式二

在变式一的条件下，若平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，PA=2，求PD和平面ABCD所成角的正切值. PABCD

提问同学甲：什么是线面角？

提问同学乙：求值步骤？ 一找二证三求值。

提问同学丙：PD与平面ABCD所成的角是哪个角？如何证？如何求？

解：取AB中点M，连接PM、MD.PAPB,M是AB中点 PMABPM平面ABCD平面PAB平面ABCDABPM平面PABPDM即为PD和平面ABCD所成角PMAB平面PAB平面ABCD又MD平面ABCDPMMD在RtΔPAB中，PAPB2 AB221PMAMAB22在ΔAMD中，MD2AM2AD2-2AMADcosMAD222（22）-2222（1）14277

MD14PMMD214在RtΔPMD中，tanPDMPD和平面ABCD所成角的正切值为7.7

有所悟：注意一找二证三求值。求解线面角核心问题是过直线上一点作平面的垂线，利用已知垂直关系证出线面垂直，确定线面角，最后在斜线段、垂线段、射影组成的三角形中计算。

变式三

若PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥BC，PB=AD=2AB=2BC=2，点M为线段PC上一点，且满足PM=1PC，求三棱锥C-AMD的体积. 3PABCD

问题①：直线BC与平面PAB什么关系？

问题②：四边形ABCD是什么特殊四边形？

问题③：能理清四边形ABCD的边角关系吗？

请同学们四人一小组，分组合作交流。

三棱锥C-AMD的体积如何求？有几种求法？

（留出时间让学生充分思考、讨论，既培养组员间的合作精神，又培养不同组间的竞争意识，让学生体验成功，增强信心）

PMA1212Q112D21B3ANBCD1C

先换底，后利用比例线段转换顶点

PMA1212Q112D213AD1BCBC

VC-MAD=VD-MAC P换底法2Q

MA121112DAD1BCBC

先利用线面平行转换顶点，再换底线面平行转移顶点法，割补法等。

变式四

有所悟：求三棱锥体积，通常可以考虑：换底法，利用比例线转移顶点法，利用在变式三的条件下，问线段PB上是否存在一点Q，使得平面AQD⊥平面PBC？请说明理由。

PABCD

点拨：要找面面垂直，一般转化为线面垂直。

变式三已证BC⊥平面PAB，AQ平面PAB，

∴BC⊥AQ，∴只需AQ⊥PB即可

提问：点Q存在吗？在线段BP上的什么位置？BQ长度怎么求？

答：

PPQQABCDAB

由AB=1，PB=2，PA⊥PB知∠APB=30°

∴∠BAQ=30°

BQ11AB

22有所悟：①探索性问题一般采用先猜想后证明的方法

②立几问题的核心是空间问题平面化

线⊥线4个条件2个条件线⊥面4个条件2个条件面⊥面活动七、小结1.2、通性通法

（1）理清下面图形边角关系；

（2）证明线线垂直，常用线面垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、菱形 对角线、直径所对圆周角等

（3）面面垂直转化成线面垂直。

活动八、作业布置

1. 必做题

完成本学案变式三、变式四的书写；

2. 攀登高峰（2017年全国高考文科新课标1第18题）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

；

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC, 锥的侧面积。

8,且四棱锥P-ABCD的体积为3，求该四棱PDCAB

题1是必做题为巩固作业，目的在于每位学生都要巩固本节知识；

题2为选做题，属创新作业，期望不同人在数学上得到不同的发展。

七、教学反思：

（1）线面、面面垂直的判定和性质复习用了5分钟，可以考虑课前布置思维导图，增加学生的参与面及知识体系的完整。

（2）变式一和变式四教师先点拨，留给学生独立完成，降低难度，又鼓励学生大胆设想，小心求证，增强学生学习信心，效果良好。

（3）变式三采用分组合作交流，学生积极主动，相当投入。教师利用几何画板动态演示，学生掌握得超棒！

（4）智慧课堂识别不了几何画板，教师二度屏幕切换，期待能在技术上根本解决此问题。

八、板书设计

课题

空间图形平面化

屏幕区

作业展示区

例题