习题4.2第二课时教学实录

直线和圆习题课——探究圆中的动态问题

【预备知识】

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

（2）线的垂直平分弦比经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 2、建立函数模型当然一般步骤：

（1）分析问题的变量总数，从条件与变量的特点选择模型的类型；

（2）分析目标的计算特征，确定自变量，自变量的选取要易于确定自身的范围，同时又能有效描述变量间的关系；

（3）建立函数模型，确定自变量的取值范围. 【课前热身】

1、点P2,2到直线l:ykx21的距离的取值范围是 2、圆C1:x2y22x8y80与圆C2:x2y24x4y20的位置关系式 3、若实数x,y满足关系式xy10，则z【典型例题】

例题1、在平面直角坐标系中xOy中，点A0,3，直线l:y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上。若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

A3FG: y = 2x – 42x2y22x2y2的最小值是 1C22O1G46810

2解：设点M为x,y，圆C的圆心为a,2a4

322xay2a41则x,y满足方程2

222xy32xy45xa2y2a421

22xy2y30（此处如果是从存在翻译为方程有解的话。接下来的步骤是联立这两个方程，消去其中的一个变量,比如y，整理为关于x的一元二次方程有解，利用判别式可以求出a的取值范围）

1

xa2y2a421

22xy14即两圆有交点，则1a22a33

2（将方程组有解的问题转化为了圆与圆的位置关系，重点在于代数表达式的几何意义。突出数形结合的思想。同时要让学生深刻体会计算量，学习通过算理分析，预计运算的难以程度）

则0a12。

5例题2、已知ABC的三个顶点A1,0,B1,0,C3,2 ,其外接圆为圆H．对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N,使得点M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围．

（通过学生的解答情况，让学生体会计算的难度）

（如果学生没有成功的解答，可以展示一下解答过程，同时教师要帮助学生分析其中的翻译过程，体会解析几何的重要思想方法）

解：有题A1,0,B1,0,C3,2，设H(0,b)

有HBHC，可知H0,32 则直线BH的方程为3xy30，设Pm,n0m3，Nx,y

因为点M是点P,N的中点，所以Mmxny,，

22又M、N都在半径为r的圆C上，所以

x32y22r222

nymx22322r22x3y2r2即

222xm6yn44r有方程的结构可以看成，以3,2为圆心，r为半径的圆与以6m,4n为圆心，2r为半径的圆有公共点，已知2rr36m24nr2r，又3mn30，

2222所以r10m12m109r对于任意的m0,1成立

222令f(m)10m12m10，当m0,1，其值域为232,10

522有线段BH与圆C无公共点，在m333m2r2对任意的m0,1成立，则有r232

52

10410

,从而r的取值范围为：53例题2分析过程

7654HB: y = –3.00x + 3.003HMPCN2142A1B24

681012142对于给定的任意一点P,过P的直线交圆C于M、N两点，由动态变化可知，MN的长度无限趋近于0，

3476543HMNC2P142A1B24

68101214当直线过圆心C的时候，MN的长度取到最大值即2r

237665544HB: y = –3.00x + 3.003HMCN3HMCNP21P2142A1B244628A1B1021241468101214

显然，当直线过圆心C时，MNPM就可以保证在变化过程中存在不同的两点M、N,使得点M是2233线段PN的中点。即r761PC

3454HB: y = –3.00x + 3.00P3H2MCN142A1B2468101214

2考虑到P时线段BH上的任意一点，即关系式要恒成立，所以r34110HC，r

333

7654MP3H2CN142A1B2468101214

2又当圆C的扩大到与线段BH相切后，不满足题设要求，r3410

5（借助几何画板展示问题的动态分析过程，同时需要将上述分析过程印发学生，让学生体会如何通过静态的图像理解动态的过程。中点突出运动的观点，多“变元”问题的处理方法）

针对训练：

1、已知圆x2y24内一点P1,1的动直线与圆交于A、B两点，求弦AB的中点Q的轨迹方程. 2A1B2QO1P(1,1)24682

解法一 3令Qx,y，由圆的几何性质可知，在直线的旋转过程中，直线OQ和AB始终保持垂直关系，所以yy11，整理可得x2xy2y0，检验特殊情况，符合方程

xx1解法二

24AQ1B2P(1,1)M2468O1 2

3 在RtPQO中，易知点QM41211OP，所以点Q的轨迹是以,为圆心，以为半径的圆，2222111其轨迹方程为xy

222解法三、引入斜率为参数，采取消参法解答

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【课堂小结】

本节课主要有哪些收获：

与圆相关的动态问题，在利用方程、函数等代数计算比较困难（运算量比较大，或者代数运算无法进行时）的时候，可以借助图形，利用对象的几何性质。通过分析动态过程中的各种几何关系或者数量关系，找到比较简便的解法；

对于含有两个及其以上“变元”的问题，如果是相关的，要找到它们

的关系，如果是不相关的，可以“逐个处理” 【课后作业】：

思考问题：

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