复习参考题公开课教案

高考中的立体几何题型分析教学设计

梅州中学 邹锦春

一、学习目标:

知识与技能：对立体几何中平行、垂直两种关系有深刻认识，

能灵活运用立体几何中所涉及的判定定理和性质定理。

过程与方法：培养学生联系性思维的能力，和综合分析能力。

情感态度与价值观：在教学过程中，教与学互相增长，经验的交流、思维的碰撞。

二、学情分析：

本节课教学对象是高三文科类学生，该类学生在立体几何解题中常常出现解题难入手；对题目条件不会转化、联系；思维薄弱。在多次的测试中发现，总分12分的立体几何大题均得分在6分以下，为了使学生在立体几何解题中得分有所提高，特安排了这节针对立体几何题型的解法的辅导总结课程。

三、学习重、难点

学习重点: 通过平行和垂直两种状态去思维分析设问与条件两者的联系

学习难点: 熟练掌握几何中的判断定理和性质定理，会用符号快速描述。

四、教学内容分析: 本节课是高考专题复习归纳课程，立体几何专题。以分析往年全国文科卷中的题型入手，让学生深刻体会解题中思维的规律性。内容选自2016年和2017年两年的全国文科卷，采用高考原题和改编题进行分析讲解，从而提高学生解答立体几何的能力。

五、教学环节与活动

一、归纳总结近5年全国文科卷立体几何的考情分析：

卷年份

别

全国Ⅰ

2013

全国Ⅱ

全国Ⅰ

2014

全国Ⅱ

设问特点

证线线垂直;求三棱柱的体积

证线面平行;求三棱锥的体积

涉及知识点

线面垂直判定、性质定理、勾股定理、棱柱体积

线面平行判定定理,勾股定理、棱锥体积

题目类型

三棱柱

直三棱柱、三棱锥

数学思想方法

演绎推理、转换思想

演绎推理、转换思想

证线线垂直;求线面垂直判定、性演绎推理、三棱柱

三棱柱的高

质定理、勾股定理

转换思想

证线面平行;求线面平行判定定点到平面的距理、棱锥体积

离

方程思想、四棱锥

等积法

（1）从近5年的高考出题中我们可以发现什么问题？

答：我们可以重点关注设问特点和涉及知识点这两部分，①从设问中我们可以了解到立体几何题型基本有2问，核心考查点是平行垂直、体积。2016年文科卷中证明中点问题实际上也是平行垂直的证明问题；求解高，距离，和表面积等问

题归类到体积问题。所以解题中可以核心抓2个，一个是平行垂直，一个是体积问题。②从涉及的知识点来看，我们对课本中所提及的判定定理和性质定理都应该非常熟练，乃至于平面几何当中所涉及的性质定理也要很清楚。

（2）对我们今年高考备考有何启发？

答：从归纳近5年的高考卷来看，我们接下来对立体几何的复习可以围绕2个核心来训练思维。通过针对性的平行和垂直的不同角度的运用，可以在短时间内较全面的掌握由平行垂直引出来的很多证明角度或方法，能帮助我们在立几的解题中提高解题效率。

二、例题分析

例一（2016全国Ⅰ，文18）：

如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明:G是AB的中点;

(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.

题干分析（提出审题要点）：

①

【正三棱锥】这个概念能提供什么有效信息？

答：定义

是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。

性质：ⅰ）

底面是等边三角形。

ⅱ）

侧面是三个全等的等腰三角形。

ⅲ）

顶点在底面的射影是底面三角形的中心（重心、垂心、外心、内心）。

②

【侧面是直角三角形】这句能提供什么信息？

答：可以判断出∠APB=∠APC=∠BPC=900,也就是说PA、PB、PC两两垂直。这种模型结构可以让我们联想到生活中的墙角，或者联想到长方体的一个顶点角；这样联想可以启发我们得到更多的结构性质，从而提高思维的角度。

③

【正投影点】这个概念能提供什么信息？

答：正投影点，意味着垂直信息。一旦线面垂直找到，很多的异面垂直就能呈现。

设问分析：

①【证明:G是AB的中点】这个问题与平行垂直有关吗？如果有关，那如何联系？

答：我们应该非常确定这些问题离不开平行垂直的研究；虽然是证明点为中点问题，我们不妨思维一下:平行垂直的方法能推导得出点是中点吗？

ⅰ）中位线可以证明点是中点，如图1：

已知三角形ΔABC中，D为AC的中点，且DE//BC, 则E为AB的中点（由三角形中位线定理可得）。

ⅱ）等腰三角形底边的高可以证明点是中点，如图2：

已知三角形ΔABC中，CA=CB,且CD⊥AB,则D点为

AB的中点。

从以上的2点经验，我们可以尝试通过平行垂直的方法去证明点是中点问题。

②【作出点E在平面PAC内的正投影F】关于作图问题，实际上也是离不开平行垂直的思考，因为在同一个平面中作图问题就是平行直线和垂直直线的问题。又投影点所引出来的问题是面的垂线，那通过图形的观察发现EF要垂直的面与BP垂直的面是同一个面，也就得到作出来的EF//BP,那么F点的位置就很显然了。

③【求四面体PDEF的体积】体积问题基本思路是先呈现结构图形，然后选取底面和高，选高首要考虑面的垂线，也就是在前一问中呈现的面垂线是思维的重点，这样思维就相对有了规律，从而形成自己的解题规律。

正解：

(1)证明

因为P在平面ABC内的正投影为D,

所以AB⊥PD.

因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.

所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.

又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.

(2)解

在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,

又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.

因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接CG,

因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.

由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,

故CD=2CG.

321PG,DE=PC.

33由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB, 所以DE∥PC,因此PE=由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2

.

在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.

所以四面体PDEF的体积V114222. 323

例二(2017全国Ⅲ,文19改编) 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:AC⊥BD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD=2a,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE的体积。

题干分析（提出审题要点）：

①

【四面体】常见的几何结构,也就是三棱锥.

②

【△ABC是正三角形】联想到等边三角形的性质：

ⅰ）等边三角形的内角都相等，且为60度

ⅱ）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

ⅲ）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线

③【AD=CD】可以联想到等腰三角形△ADC.

设问分析：

①【证明:AC⊥BD】通过观察可以知道AC⊥BD是异面直线垂直问题,从经验上告诉我们证明垂直常用的方法是:转化为线面垂直证明或通过构建直角三角形用勾股数计算证明.当然我们一般首选是转线面垂直为首要入手点.从所给的条件可以感受到以AC为主线,以过DB线为构造面来证明线面垂直. ②【△ACD是直角三角形】首先的思维点是，哪个是直角？通过条件DA=DC，可以很快判断∠ADC=900 ③【AB=BD=2a，AE⊥EC】当题干在提到有长度量，意味着计算。垂直的联系方向较多，有直角三角形的性质联想，有线面垂直的联想，有结构体高的联想等，类似这些都是我们应该具备的思维模式。

正解：

(1)取AC的中点O,连接DO,BO. 因为AD=CD,所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.

(2)连接EO.

由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.

在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.

又AB=BD=2a,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.

1AC=a; 21又△ABC为正三角形,且AB=BD,所以EO=BD=a.故E为BD的中点, 21从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的

,四面体ABCE的体积2由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=为四面体ABCD的体积的一半

,即四面体ACDE的体积为33a. 6

课堂训练(2017全国Ⅲ,文19) 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD. (1)证明:AC⊥BD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

分析提示：

可以比较此题与上一题改编题的不同点在哪里？

答：题干几乎没变，第二问中AB=BD没有具体设量；最后求的是体积比。

正解：

(1)取AC的中点O,连接DO,BO. 因为AD=CD,所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.

(2)连接EO.

由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.

在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.

1AC 21又△ABC为正三角形,且AB=BD,所以EO=BD 2由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的ACDE的体积之比为1∶1.

1

,21

,即四面体ABCE与四面体2

六．小结 1、多以找平行和找垂直为思维出发点

2、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型

(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.

七．课后练习

（高考摘录）

练1 、

练2 、

八、学后反思、自查自纠：

1、课程设计重难点突出，例题以高考题和高考变形题入手，很有针对性，使学生能深刻感受到高考中的解题思路，本节效果不错，学生很认真听课。

2、通过这一次的学***行垂直有了更深刻的认识。

3、给于学生讨论的时间较少，这块可调整一下。

4、课前的引入可以缩短一些时间。