3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课堂实录【1】

教师课时教案

备课人

课题

课标要求

教

学

目

标

重点

难点

马苗

授课时间

2018年4月

3.1.1直线的倾斜角和斜率

了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

知识目标

技能目标

情感态度价值观

(1)

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

(2)

理解直线的倾斜角的唯一性. (3)

理解直线的斜率的存在性.

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 斜率的概念和公式. 问题与情境及教师活动

教学过程：

（一）

直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么,

学生活动

学生回答

教

学

过

程

及

方

法

经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? YabcOPX (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念:

1

教师课时教案

问题与情境及教师活动

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与．．．x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. Ybac教

OX学

过

如图, 直线a∥b∥c, 那么它们

程

的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一

及

条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和．方

一个倾斜角α．．．．．．.

(二)直线的斜率: 法

学生活动

学生完成

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如： α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 2

问题与情境及教师活动

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 学生活动

学生完成

教

学

过

程

及

方

法

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

(四)例题:

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k3

问题与情境及教师活动

而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 学生活动

学生独立完成

教

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及

-3的直线a, b, c, l. 学

分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而

过

M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,

所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴程

的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

及

略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有

1=(y－0)／(x－0) 方

所以 x = y 法

M(1,1), 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3. 教

学

小

结

课后

反思

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