1.1.1 命题优秀完整教案

第一章

常用逻辑用语

1.1

命题及其关系

1.1.1

命

题

目标：

1.理解什么是命题，会判断一个命题的真假．

2．分清命题的条件和结论，能将明确给出条件与结论的命题写成“若p，则q”的形式．

重点：

命题的定义及其真假判断．

难点：

1.判断一个语句是否为命题．

2．区分命题的条件与结论．

一、新知导学

1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．

2．判断为真的语句叫__________，判断为假的语句叫__________．

3．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有_______之分，而定理是_____命题．

4．命题常写成“__________”的形式，其中命题中的p叫做命题的__________，q叫做命题的__________．

二、导学练习

1．下列语句不是命题的是(

) A．地球是太阳系的行星

B．等腰三角形的两底角相等

C．今天会下雪吗？

D．正方形的四个内角均为直角

[答案]

C [解析]

疑问句不是命题，故选C．

2．已知下列语句：①一束美丽的花；②x>3；③2是一个偶数；④若x＝2，则x2－5x＋6＝0.其中是命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 [答案]

B [解析]

①不能判断真假，不是命题；②含变量x，无法判定其真假，不是命题；③、④都是命题．

3．将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题．

(1)面积相等的两个三角形全等；

(2)实数的平方是非负数．

[解析]

(1)若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．是假命题．

(2)若一个数是实数，则它的平方是非负数．是真命题．

4．观察下列语句：

(1)三角形的三个内角的和等于360°. (2)今年运动会我们班还能得第一吗？

(3)2016年奥运会的举办城市是巴西里约热内卢．

(4)这是一棵大树呀！

(5)实数的平方是正数．

(6)能被4整除的数一定能被2整除．

问题1：上述语句哪几个语句是命题．

问题2：你能判断其中命题的真假吗？

[答案]

(1)(3)(5)(6)是命题

(1)(3)(6)真，(5)为假

三、应用

判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)求证：3是无理数；

(2)x2＋4x＋4≥0；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果．

[分析]

由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．

[解析]

(1)是祈使句，不是命题．

(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，对于x∈R，可以判断为真，它是命题．

(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．

(4)是命题，可以判断为真．人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．

[方法规律总结]

判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：

1．必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．

2．其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．

跟踪练习

下列语句中，是命题的是(

) A．x2＋1>0，x∈R B．函数y＝x2是偶函数吗？

C．a2＝a D．平行四边形

[答案]

A [解析]

B不涉及真假，C不能判定真假，D不涉及真假，故选A．

判断下列命题的真假：

→→→(1)AB＋BC＝AC；

(2)log2x2＝2log2x；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；

π(4)直线x＋y＝0的倾斜角是4；

3π2(5)若α＝4，则sinα＝2；

[分析]

运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断．

[解析]

(1)是真命题；(2)是假命题．如x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义；(3)是真命题．若m>1，则Δ＝4－4m<0；(4)是假命题．直线x＋y＝03π的倾斜角是4；(5)是真命题；(6)是假命题．如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1∉A∩B．

[方法规律总结]

1.命题真假的判定方法

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断．

要说明一个明题是假命题，只需举一个反例即可．

2．一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．

从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．

(1)(2015·安徽理)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(

) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

[答案]

D [解析]

对于A选项显然不正确，如我们熟悉的墙角中三个面的关系；对于B，m与n的关系可平行，也可相交，也可异面；对于C，当α与β相交时，α内与交线平行的直线，与β平行．选D．

(2)给出下列几个命题：

①若x、y互为相反数，则x＋y＝0；

②若a>b，则a2>b2；

③若x>－3，则x2＋x－6≤0；

④若a、b是无理数，则ab也是无理数．

其中的真命题有__________________个．

(6)若x∈A，则x∈(A∩B)．

[答案]

1 [解析]

①是真命题．②设a＝1>b＝－2，a>b，但a2－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．④设a＝(2)＝(2)2＝2是有理数，假命题．

2，b＝2，则ab

指出下列命题的条件与结论．

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等．

[分析]

由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．

解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．

[解析]

(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．

(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．

条件为：“一个四边形是正方形”；

结论为：“这个四边形的四条边相等”．

[方法规律总结]

1.数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．

2．“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．

13．并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“3是有理数”，“5>3”．

把下列命题表示为“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)相似三角形的面积相等；

(2)平行于同一个平面的两平面平行；

(3)正弦函数是周期函数．

[解析]

(1)若两个三角形相似，则它们的面积相等．假命题．

(2)若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面平行．真命题．

(3)若一个函数为正弦函数，则它是周期函数．真命题．