习题3.2优秀教学设计范文

第三章 3.2习题课

目标定位

1.了解直线和直线方程之间的对应关系.2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性.

1.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(

) A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6 解析

由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B. 答案

B 2.直线(2m－5m＋2)x－(m－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(

) A.－2 222 B.2 2C.－3 D.3 2m－5m＋2解析

由已知得m－4≠0，且＝1，

m2－4解得：m＝3或m＝2(舍去). 答案

D 3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则(

) A.C＝0，B>0 C.AB<0，C＝0

B.A>0，B>0，C＝0 D.AB>0，C＝0 解析

通过直线的斜率和截距进行判断. 答案

D 4.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(

) A.－3 B.3 1C. 31D.－

3解析

由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay1＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－. 3

题型一

由含参一般式方程求参数的值或取值范围

【例1】 (1)若方程(m＋5m＋6)x＋(m＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________. (2)当实数m为何值时，直线(2m＋m－3)x＋(m－m)y＝4m－1. ①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1. (1)解析

若方程不能表示直线，则m＋5m＋6＝0且m＋3m＝0. m＋5m＋6＝0，解方程组2得m＝－3. m＋3m＝0，

1 2222222

所以m≠－3时，方程表示一条直线. 答案

m≠－3 (2)解

①因为已知直线的倾斜角为45°，

2m＋m－3所以此直线的斜率是1，所以－2＝1，

m－mm－m≠0，所以2

22m＋m－3＝－（m－m），22解得m≠0且m≠1，m＝－1或m＝1.所以m＝－1. ②因为已知直线在x轴上的截距为1，

4m－14m－1令y＝0得x＝2，所以2＝1，

2m＋m－32m＋m－33m≠1且m≠－，22m＋m－3≠0，所以解得

4m－1＝2m＋m－3，1m＝－2或m＝2.221所以m＝－或m＝2. 2规律方法

已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

【训练1】

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围. (1)证明

直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

x＋2＝0，x＝－2，令解得

1－y＝0，y＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1). 1＋2k(2)解

由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，k

2

1＋2k－≤－2，k要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k＞0；

1＋2k≥1，当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

故k的取值范围为{k|k≥0}.

题型二

利用直线系方程求直线方程

【例2】

已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′方程，

(1)过点(－1，3)，且与l平行；

(2)过点(－1，3)，且与l垂直. 33解

法一

由题设l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－. 443(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－. 43又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. 44(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，

34又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，

3即4x－3y＋13＝0. 法二

(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0. 规律方法

一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧. 【训练2】

已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；

(2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解

(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，

又过点A(2，2)，

所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14. 所求直线方程为3x＋4y－14＝0.

3

(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，

又过点A(2，2)，

所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，

所以直线方程为4x－3y－2＝0. 题型三

直线的平行与垂直问题

【例3】

a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0. (1)平行；(2)垂直. 解

当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；

－1＋a当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；

211直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－. aa(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，

1－1＋a1得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2. a221(2)当两直线垂直时，(a－1)×1＋(－2)×(－a)＝0，解得a＝. 3规律方法

1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合. (2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性. 2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 第二种方法可避免讨论，减小失误. 【训练3】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值. (2)已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为(

) A.－1 B.1 C.±1 3 D.－

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4

(1)解

法一

∵l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，∴当m＝0时，显然l1不平行于l2. 2m＋142当m≠0时，若l1∥l2，则有＝≠，即m＋m－6＝0. m3－2解得m＝2或m＝－3.显然m＝2或m＝－3符合条件. 法二

若l1∥l2，则2×3－m(m＋1)＝0，

解得m＝2或m＝－3.当m＝2或m＝－3时，

(m＋1)×(－2)－3×4＝－2m－14≠0，

∴m＝2或m＝－3为所求. (2)解析

∵两直线垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.

答案

C [课堂小结] 1.直线方程五种形式的比较

名称

点斜式

斜截式

一般情况

方程

常数的几何意义

(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率

适用条件

直线不垂直于x轴

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xy＋＝1

abAx＋By＋C＝0(A，B不同时为0) k是斜率，b是直线在y轴上的截距

(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点

直线不垂直于x轴

直线不垂直于x轴和两点式

一般情况

y轴

直线不垂直于x轴和a，b分别是直线在x截距式

轴、y轴上的两个非零截距

一般式

y轴，且不过原点

A，B为系数

垂直于x轴且过点(a，0)

垂直于y轴且过点(0，b)

任何情况

x＝a(y轴：x＝0)

特殊直线

斜率不存在

y＝b(x轴：y＝0)

斜率k＝0 2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：

(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；

(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；

(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性.

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