一元一次不等式与一次函数图象的关系优秀教案

《一元一次不等式与一次函数》教学设计

一、教学目标

（一）教学知识点

1．一元一次不等式与一次函数的关系．

2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较．

（二）能力训练要求

1．通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识．

2．训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力．

（三）情感与价值观要求

体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

二、教学重点

了解一元一次不等式与一次函数之间的关系．

三、教学难点

自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答．

四、教学方法

研讨法

即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用．

五、教具准备

投影片两张

第一张：（记作§1.5．1 A）

第二张：（记作§1.5．1 B）

六、教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用．

Ⅱ．新课讲授

1．一元一次不等式与一次函数之间的关系．

［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．

［生］如x=2x－5为一次函数．

［师］在一次函数x=2x－5中，

当x=0时，有方程2x－5=0；

当x＞0时，有不等式2x－5＞0；

当x＜0时，有不等式2x－5＜0．

由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．

下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系．

2．做一做

投影片（§1.5．1 A）

作出函数x=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．

（1）x取哪些值时，2x－5=0？

（2）x取哪些值时，2x－5＞0？

（3）x取哪些值时，2x－5＜0？

（4）x取哪些值时，2x－5＞3？

图1－21 请大家讨论后回答：

［生］（1）当x=0时，2x－5=0，

∴x=5，

25时，2x－5=0．

2∴当x=（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值x大于0时所对应的x的值，从图象上可知，x＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当x=0时，则有2x－5=0，解得x=＞0．因此当x＞5时，2x－5＞0；

25时，有2x－5＜0；

255．当x＞时，由x=2x－5可知

x22（3）同理可知，当x＜（4）要使2x－5＞3，也就是x=2x－5中的x大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与x=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3．

3．试一试

如果x=－2x－5，那么当x取何值时，x＞0？

［师］由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧．请大家试一试．

［生］首先要画出函数x=－2x－5的图象，如图1－22：

图1－22 从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的x的值都大于0，而每一个x的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2．5的数，由－2x－5=0，得x=－2．5，所以当x取小于－2．5的值时，x＞0．

4．议一议

投影片（§1.5．1 B）

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时弟弟跑在哥哥前面？

（2）何时哥哥跑在弟弟前面？

（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？

（4）你是怎样求解的？与同伴交流．

［师］大家应先画出图象，然后讨论回答：

［生］［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为x1，弟弟跑过的路程为x2，根据题意，得

x1=4x

x2=3x+9 函数图象如图1－23：

图1－23 从图象上来看：

（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（3）弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m；

（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过x

轴上20这一点作x轴的平行线，它与x1=4x，x2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短．同理可知谁先跑过100 m．

Ⅲ．课堂练习

1．已知x1=－x+3，x2=3x－4，当x取何值时，x1＞x2？你是怎样做的？与同伴交流．

解：如图1－24所示：

图1－24 当x取小于

7的值时，有x1＞x2．

4

Ⅳ．课时小结

本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式．

Ⅴ．课后作业

习题1.6

Ⅵ．活动与探究

作出函数x1=2x－4与x2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x+8＞0？

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？

（4）你能求出函数x1=2x－4，x2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．

解：图象如下：

图1－25 分析：要使2x－4＞0成立，就是x1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数x2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．

［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0；

（2）当x＜4时，－2x+8＞0；

（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立．

（4）由2x－4=0，得x=2；

由－2x+8=0，得x=4 所以AB=4－2=2 y2x4由

y2x8得交点C（3，2）

所以三角形ABC中AB边上的高为2．

1所以S=×2×2=2．

2七、板书设计

§1.5.1

一元一次不等式与一次函数（一）

一、1．一元一次不等式与一次函数之间的关系；

2．做一做（根据函数图象求不等式）；

3．试一试（当x取何值时，x＞0）；

4．议一议

八、备课资料

参考练习

1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元．请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利x1元；在月末一次性出售获利x2元，

根据题意，得

x1=15%x+（x+15%x）·10%=0．265x，

x2=30%x－700=0．3x－700．

（1）当x1＞x2，即0．265x＞0．3x－700时，x＜20000；

（2）当x1=x2，即0．265x=0．3x－700时，x=20000；

（3）当x1＜x2，即0．265x＜0．3x－700时，x＞20000．

所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多．

2．某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量x（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）．

（1）分别求出x≤2和x≥2时，x与x之间的函数关系式；

（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？

图1－26 解：（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设x1=k1x，

把（2，6）代入得，k1=3 ∴x1=3x．

当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点．

设x2=k2x+b，则有

2k2b6

10kb32

327得k2=－，b=

84327∴x2=－x+

84（2）过x轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于x1，x2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线，对应x轴上的的．

422224和，即在－=6小时间是有效3333