正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案及板书设计

24．3

正多边形和圆

01

教学目标

1．了解正多边形的概念．

2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．

3．会进行有关圆与正多边形的计算．

4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．

5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

02

预习反馈

阅读教材P105～107，完成下列知识探究．

1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等360°于．

边数4．正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．

03

典例分析

例1

(教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．

【解答】

如图，连接OB，OC.

360°因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等边三角6形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24(m)．

作OP⊥BC，垂足为P. BC4在Rt△OPC中，OC＝4 m，PC＝＝＝2(m)，

22利用勾股定理，可得边心距r＝42－22＝23(m)．

11亭子地基的面积S＝lr＝×24×23≈41.6(m2)．

22思考：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

【跟踪训练1】

(《名校课堂》24.3习题)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正三角形EFG的边长．

解：连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，

根据正方形的性质可得AB＝BC＝4. ∵∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径．

在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋42＝42. ∴OE＝OF＝22.∵OM⊥EF，∴EM＝MF. ∵△EFG是正三角形，∴∠G＝60°.∴∠EOF＝2∠G＝120°. 1∴∠EOM＝∠EOF＝60°.∴∠OEM＝30°. 2在Rt△OME中，OE＝22，∠OEM＝30°，

∴OM＝2，

ME＝OE2－OM2＝（22）2－（2）2＝6. ∴EF＝2ME＝26，

即正三角形EFG的边长为26.

例2

已知⊙O，求作⊙O的内接正△ABC. 【解答】

作直径AM；再作OM的垂直平分线BC，交⊙O于B，C；连接AB，AC，则△ABC为⊙O的内接正三角形．

【跟踪训练2】

你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

【点拨】

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

04

巩固训练

1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B) A．4

B．5

C．6

D．7 2．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A．33

B．93

C．183

D．363 3．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A) 1A．2

B.3

C．1

D.

24．正三角形的边心距、半径和高的比为(D) A．1∶2∶3

B．1∶2∶3

C．1∶2∶3

D．1∶2∶3

5．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝3 cm，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB＝2cm，正六边形的面积S＝63cm2.

6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．

解：设这个正三角形的中心为O，连接OB，OC，作OH⊥BC于H. 360°∵∠BOC＝＝120°，∴∠BOH＝60°. 31在Rt△BOH中，BH＝BC＝3，∠OBH＝30°，

2∴OH＝3，OB＝23，

即该正三角形的中心角为120°，半径为23，边心距为3. 【点拨】

正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．

05

课堂小结

1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．

3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．

4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.

习题

24.3

正多边形和圆

基础题

知识点1

认识正多边形

1.下面图形中，是正多边形的是(C)

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形

2.(柳州中考)如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(B)

A.240°

B.120°

C.60°

D.30°

3.(连云港中考)一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为12. 4.(资阳中考)如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝36°.

知识点2

与正多边形有关的计算

5.(沈阳中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(B)

A.3

B.2 C.22

D.23 6.(株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(A) A.正三角形

B.正方形

C.正五边形

D.正六边形

7.(南京中考)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为(B) A.1

B.3 C.2

D.23 8.(贵阳中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为33.

9.边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是23__cm. 10.(宁夏中考)如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，13若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为(，－). 22

11.(教材P109习题T6变式)将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于1＋2(结果保留根号).

知识点3

画正多边形

12.如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；

②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点；

②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断(A)

A.甲、乙均正确

B.甲、乙均错误

C.甲正确、乙错误

D.甲错误，乙正确

中档题

13.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为(D) A.4R＝5r

B.3R＝4r C.2R＝3r

D.R＝2r 14.(滨州中考)如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(C)

A.(2，－3)

B.(2，3) C.(3，2)

D.(3，－2) 15.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)

A.2a2

B.3a2

C.4a2

D.5a2

16.(滨州中考)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为(B)

A.2

B.22－2 C.2－2

D.2－1 17.(威海中考改编)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正△EFG的边长.

解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，根据正方形的性质可得AB＝BC＝4. ∵∠ABC＝90°，

∴AC是⊙O的直径. 在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋42＝42. ∴OE＝OF＝22. ∵OM⊥EF，

∴EM＝MF. ∵△EFG是正三角形，

∴∠EOF＝2∠G＝120°. 1∴∠EOM＝∠EOF＝60°. 2在Rt△OME中，OE＝22，∠OEM＝30°，

∴OM＝2，

ME＝OE2－OM2＝（22）2－（2）2＝6. ∴EF＝2ME＝26. ∴正△EFG的边长为26.

综合题

18.如图1，2，3，…，m，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图1中∠MON的度数；

(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). 解：(1)连接OA，OB. ∵正三角形ABC内接于⊙O，

∴OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝30°，

∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，AB＝BC，∴AM＝BN. ∴△AOM≌△BON(SAS). ∴∠AOM＝∠BON. ∴∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，

即∠AOB＝∠MON. ∴∠MON＝120°. 360°(3)∠MON＝. n