测试教案2

实际问题与二次函数考试题(含答案) 达标训练

基础•巩固

1.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列那幅图(26.3-9)刻画( ) 思路解析：被踢出的足球运动路径为抛物线. 答案：B 2.一位篮球

运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分.下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度h(米)与时间t(秒)之间变化关系的是( ) 思路解析：投出的篮球运动路径为抛物线. 答案：D 3.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

思路解析：先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线与x轴的交点坐标(横坐标为正)，若这点的横坐标大于18，就可判断球出线. 解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系(如图). 由于其图象的顶点为(9,5.5)，设二次函数关系式为y=a(x-9)2+5.5(a≠0)，由已知，这个函数的图象过(0,1.9)，可以得到1.9=a(0-9)2+5.5. 解得 . 所以，所求二次函数的关系式是y= (x-9)2+5.5. 排球落在x轴上，则y=0，因此，

(x-9)2+5.5=0. 解方程，得x1=9+ ≈20.1，x2=9- (负值，不合题意，舍去). 所以，排球约在20.1米远处落下，

因为20.1>18，

所以，这样发球会直接把球打出边线. 4.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图26.3-9所示，大门地面宽AB=4 m，顶部C离地面高度为4 .4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门. 图26.3-9 思路解析：建立适当的坐标系可以简化解题步骤.先建立如图26.3-13.2的坐标系，根据已知条件求出抛物线的解析式，再求抛物线上纵坐标为2.8的点之间的距离，若这个距离大于汽车装货宽度，就可判断汽车能顺利通过大门. 解：如图，以大门地面的中点为原点，大门地面为x轴，建立直角坐标系.根据对称性，设二次函数关系式为y=a(x+2)(x-2)(a≠0)，

由已知，这个函数的图象过(0,4.4)，可以得到4.4=a(0+2)(0-2). 解得a=-1.1. 所以所求二次函数的关系式是y=-1.1x2+4.4. 当y=2.8时，有-1.1x2+4.4=2.8. 解方程，得x1≈1.21，x2≈-1.21.

因为2×1.21>2.4, 所以，汽车能顺利通过大门. 5.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.4米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球

圈距地面3米，问此球是否投中(假设球圈直径为45 cm，篮球的直径为25 cm，篮球偏离球圈中心10 cm以内都能投中)？

思路解析：建立坐标系，用函数观点判断球圈中心点是否在抛物线上. 解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系. 由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4)，

设二次函数关系式为y=a(x-4)2+4(a≠0)，

由已知，这个函数的图象过(0,2.4)，可以得到2.4=a(0-4)2+4. 解得a=-0.1. 所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4. 当x=7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1. 因为3.1=3+0.1，0.1在篮球偏离球圈中心10 cm以内. 答：这个球能投中. 综合•应用

6.(2010安徽模拟) 如图26.3-10，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是__________. 图26.3-10 思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关，可设正方形的边长为2m，则A(0，

)、B( ，

)、C( ，

)，把A、B的坐标值代入y=ax2+c中，得a= ，

，所以 . 答案：2 7.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元. (1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？

思路解析：(1)市场价每天上升1元，则P=30+x；

(2)销售总额为

活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活

蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；

(3)根据利润计算式表达，可设利润为w元，用函数性质解决. 答案：(1)P=30+x. (2)Q=(30+x)(1 000-10x)+20•10x=-10x2+900x+30 000. (3)设利润为w元，则

w=(-10x2+900x+30 000)-30•1 000-400x=- 10(x-25)2+6 250. ∵-10<0, ∴当x=25时，w有最大值，最

大值为6 250. 答：经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大利润. 8.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，

那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

思路解析：用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm，列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题. 方法一：(1)解：设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为(20-x) cm. 由题意

得 . 解得x1=16，x2=4. 当x1=16时，20-x=4；当x2=4时，20-x=16. 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 cm和4 cm. (2)不能.理由是：

. 整理,得x2-20x+104=0. ∵Δ=b2-4ac=-16<0, ∴此方程无解，

即不能剪成两段使得面积和为12 cm2. 方法二：剪成两段后其中一段为x cm，两个正方形面积的和为y cm2. 则

(x-10)2+12.5(0

(x-10)2+12.5=17. 解方程，得x1=16，x2=4. 当x1=16时，20-x=4；当x2=4时，20-x=16. 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 cm和4 cm. (2)不能.理由是：

函数y= (x-10)2+12.5中，a= >0，当x=10时，函数有最小值，最小值为12.5. ∵12<12.5，

所以不能剪成两段使得面积和为12 cm2. 9.我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示. 图26.3-11① 图26.3-11-②

(1)直接写出图①中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式；

(2)求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式；

(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？

(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克.) 思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函数表示市场销售单价，种植成本是一段抛物线，再分别计算各时段的纯收益单价，比较得出结论. 解：(1)①当0≤x≤120时，y = +160；

②当120≤x≤150时，y=80；

③当150≤x≤180时，y= +20. (2)设z=a(x-110)2+20, 把x=60，y= 代入，

=a(60-110)2+20,解得 . 所以

(x-110)2+20，即

(0≤x≤180). (3)设纯收益单价为w(元)，则

①当0≤x≤120时，w=( x+160)-( )= (x-10)2+100，

∵

,∴当x=10时，w有最大值，最大值为100(元). ②当120≤x≤150时，w=80-( )= (x-110)2+60，

∵

,∴当x=110时，w有最大值，最大值为60(元). ③当150≤x≤180时，w=( x+20)-( )= (x-170)2+56，

∵

,∴当x=170时，w有最大值，最大值为56(元). 综上所述，第10天上市的绿茶纯收益单价最大. 回顾•展望

10.(2010湖北武汉模拟) 连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥，它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉

的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连

接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 图26.3-12-① 图26.3-12-②

(1)求抛物线的解析式；

(2)正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由. 思路解析：(1)根据抛物线的对称性，设抛物线的解析式为y=ax2+c，由点A(或点B)和EF的位置坐标，列出方程组，求出解析式. (2)OC的长由抛物线与y轴交点可以得到. 图中系杆的横坐标都应该是5的整数，判断图象上纵坐标为OC 长

一半的点的横坐标是否是5的倍数.令函数式的值为OC长的一半，列方程解出对应的x值，再进行判断. 解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+c ∵B(140,0)，E(70,42)，∴

解得a= ,c=56. ∴y= x2+56. (2)当x=0时，y= x2+56=56.∴O C=56(米). 设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度是28米. 则28= x2+56，解得 . ∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上，

∴每根系杆上的点的横坐标均为整数. ∴

与实际不符. ∴不存在一根系杆的长度是OC的一半. 11.(福建南平模拟) 某公司年1—3月的月利润y(万元)与月份x之间的关系如图所示26.3-13图中的折线可近似看作是抛物线的一部分. 图26.3-13 (1)根据图象提供的信息，求出过A、B、C三点的二次函数关系式；

(2)公司开展技术革新活动，定下目标：今年6月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6月份公司预计将达到多少万元？

(3)如果公司1月份的利润率为13%，以后逐月增加1个百分点.已知6月上旬平均每日实际销售收入为3.6万元，照此推算6月份公司的利润是否会超过(2)中所确定的目标？

(成本总价=利润利润率，销售收入=成本总价+利润) 思路解析：先根据图象用待定系数法求出月利润与月份之间的函数关系式，再根据解析式计算. 计算图象中6月份的利润，计算按1个百分点增长的利润，比较大小. 解：设y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c，依题意，得

解得a= ，b=- ，c=3.

∴y与x之间的函数关系式为y= x2- x+3. (2)当x=6时，解得y=18.∴预计6月份的利润将达到18万元. (3)6月份的利润率为：13%+5×1%=18%. 6月份的实际销售收入为：3.6×30=108(万元). 解法一：设6月份的实际利润为x万元，依题意，得

+x=108. 解得x≈16.7(万元). ∵16.7<18, ∴6月份的利润不会达到原定目标. 解法二：6月份预计销售收入：

+18=118(万元). ∵108<118, ∴6月份的利润不会达到原定目标.