3.1.1 空间向量及其加减运算板书设计及设计说明

3.1.1空间向量及其加减运算

一．教材分析: 1.本节内容在高中教材中的地位和作用

向量可以表示物体的位置，本身也是一种几何图形（有向线段），因而它成为几何学的基本研究对象；向量可以进行加减，数乘，数量积等运算，又成为了代数学的研究对象。可以说向量是重要的数学模型，是沟通代数，几何的桥梁。

在学习了立体几何初步和平面向量的基础上进行的空间向量的学习为空间向量解决立体几何问题提供了新的视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。而本节内容又是整个空间向量的基础，是后续学习的前提，因此学好这节内容就显得尤为重要。

2.教学重难点

（1）教学重点：类比平面向量知识理解掌握空间向量的有关概念及其加减运算。

（2）教学难点：空间向量的加减运算。

二．学情分析: 由于学生已学过平面向量知识有一定的向量基础，学习过立体几何知识有一定的空间观念，因此在教学中可运用类比和归纳让学生体验数学结构上的和谐性。由于空间向量是在平面向量的基础上推广的，涉及内容和平面向量类似，学生应该容易接受。但要在教学过程中注意维数增加给学生带来的不利影响。

三．教学目标：

1.知识目标

理解空间向量的相关概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律。

2.能力目标

（1）体会类比和归纳的数学思想。

（2）进一步培养学生的空间观念。

（3）体会数形结合的思想。

3．情感态度、价值观目标：

（1）培养学生认真参与，积极交流的主体意识。

（2）培养学生探索精神和创新意识。

（3）使学生懂得数学源于生活，服务于生活。

四．教法学法:

教法：采取类比引导、计算机辅助教学、反馈练习等方式；

学法：采取自主探索、类比猜想、合作交流等形式。

五．教学过程：

（一）.创设情境——引入新课（见课件）

（二）.复习回顾

［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［师］我们还学习了一些特殊向量，同学们一起回忆一下。

［生］长度为零的向量叫做零向量。

长度等于1个单位的向量叫做单位向量。

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减法运算：

⒈向量的加法：

⒉向量的减法：

［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［生］向量加法运算满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、特殊向量、空间向量的加法、减法、以及这两种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P84～P85．

（三）．新课讲授

［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．那么我们怎样表示空间向量呢？特殊向量又是怎样表示的呢？

［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，空间中零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量中相同

［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

［师］空间向量的加法、减法运算是怎样定义的呢？

［生］空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

，

ABOBOA（指向被减向量）［师］空间向量加法的推广：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

［师］空间向量的加法运算有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．

［生］空间向量加法有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

（四）.典型例题

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列

向量表达式

(如图)

(1

)ABBC(2)ABCC1(3)AA1C1B1DCD1C1

A1B1(5)DADCDD1(4)1

ABADAAD

C

BABCBB(6)1

AB

结论：，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.——平行六面体法则。

变式：

已知平行六面体ABCDA1B1C1D1, M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式：

⑴

⑵

⑶

⑷

AA1A1B1; 11A1B1A1D1; 2211AA1A1B1A1D1

22ABBCCC1C1A1A1A.

AD1MA1DB1CC1B

例2

在空间四边形ABCD中,点M、N分别是BC、CD边的中点,化简

(1) AB1BC1BD22

1(2) AM(ACAD)

2

(3)若点G是BCD的重心,且AGxAByACzAD.B

求x,y,z的值.

※

当堂检测

1. 下列说法正确的是（

）

A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

2. 长方体ABCDA'B'C'D'中，化简AA'A'B'A'D'=

A

D

M

C

N

3. 已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（

）

A. a0b0

B. a0b0或a0b0

C. a01

D. ∣a0∣=∣b0∣

4. 在四边形ABCD中，若ACABAD,则四边形是（

）

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

D. 平行四边形

ABa，ADb，5. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M为AC与BD的交点，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的是（

）

A.

abc

11abc

2211C.

abc

2211D. abc

221212B.

6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：

⑴

AM+BN

⑵A'N－MC'+ BB'

C'

A'

NB'

C

AM

B

（五）. 课后作业

⒈课本P97

习题3.1 A组1、2

⒉预习课本P86～P88

（六）.

教学反思

本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和协作能力。