信息技术应用 图形技术与函数性质教学创新设计

《利用导数研究函数的零点问题》教学设计

慈利一中

刘伟

一．教学背景

1．

学生特征分析

高三493班是文科A班，学生基础较好，初步具备用导数研究函数性质的思路与方法，能根据自己已有的知识、经验对事物加以解释和判断，具有一定的比较与分类思维，但是抽象概括及分析综合能力较为欠缺。学生已经系统的复习了函数、导数的相关知识，了解函数零点的定义，会利用导数求函数的单调区间和极值。对导数有了一定的理解，学习积极性比较高，利用导数这一工具对函数的性质研究比较好。但是理性思维比较欠缺，对于处理含参问题的能力还有待提高，把新问题转化问已解决问题的能力有待提高，缺乏选择解决问题策略的能力。

2．学习内容分析

导数是微积分的核心概念之一。它是研究函数的单调性、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具,对我们描绘函数图象带来极大方便，高考对导数的考查重在导数的应用，如求函数的单调区间、极值最值、解决实际问题及与不等式的结合。而利用导数对函数性质的研究有利于我们解决函数的零点问题。近几年高考也出现了一些函数零点问题或可转化为函数零点问题的题目，所以本节课从三次函数出发探究函数零点问题，以简单的含参数函数零点问题为载体，引导学生利用导数讨论函数的单调性、极值、最值解决问题，突出数形结合思想、转化思想的应用。

二．教学目标

1、知识与技能：掌握函数零点的概念、函数零点的等价形式、零点的存在性原理，能利用导数分析含参和不含参函数的性质与图像，从而解决零点的有关问题。

2、过程与方法：学生经历利用导数对例1、例2、例3函数的单调性、极值和最值的分析，结合函数图象解决零点问题的过程，学生体会函数性质与零点间的关系，了解研究函数零点问题常见的两个方向，一是直接研究含参数函数的图像和性质，二是参变分离转化为两个函数的交点问题。

3、情感态度与价值观：通过例1、例2、例3的不同解决，学生体会数形结合、化归与转化数学思想的应用，提高学生利用数学思想分析问题解决问题的能力。

【教学重点】利用导数分析函数性质，解决函数零点问题及其转化问题

【教学难点】理解函数零点问题与两个函数交点问题的转化，解决问题策略的优化选择

【教学方式】启发式、探究式

【辅助工具】多媒体课件，几何画板。

三．教学过程

1

课题引入：已知函数f(x)lnxx1，思考：该函数有没有零点？有几个零点？怎么证明你的结论？

设计意图：

虽然该方程不能直接求解，但可以容易观察出x1是方程的一个根，而判断零点个数可以从两个方面考虑，一是分成两个基本初等函数，观察它们的交点个数，二是判断原函数的单调性，确定只有一个零点。这个问题包含了函数零点的概念和几种等价转化的方法，方便引入需要复习的零点有关内容。

知识准备

1、函数零点的概念：

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、几个等价关系：

方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点

结论：函数F(x)f(x)g(x)有零点函数yf(x)与yg(x)有交点。

3、零点存在性定理：

如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在(a,b)内有零点。

推论：如果函数yf(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，yf(x)在a,b上为单调函数，且有f(a)f(b)0，那么，函数y零点。

合作探究

f(x)在(a,b)内有且仅有一个例1、函数f(x)xxx1的图像与x轴有几个交点？

变式训练: 已知函数f(x)xxxm（mR），①m取何值时，函数有一个零点，②m取何值时，函数有两个零点；③m取何值时，函数有三个零点？

解法一：f(x)的极大值为f(1)m1，f(x)的极小值为f()m草图可得：

3232135.由函数f(x)的275时，f(x)有一个零点；

275（2）当m1或m时，f(x)有两个零点；

275（3）当1m时，f(x)有三个零点．

27（1）当m1或m

2

解法二：若f(x)x3x2xm0则x3x2xm,设g(x)x3x2x15g(x)的极大值为g(1)=1,g(x)的极大值为g()=,327 5由g(x)x3x2x的图象可知:（）当1m1或m时，有一个零点；2755（2）当m1或m?时，有两个零点；（3）当1m?时，有三个零点．2727设计意图：

学生注意到本题与热身练习的区别与联系，将问题转化为研究函数极值（含参数m），再讨论随着m变化，函数图象与x轴的交点个数。

另一种方法是两个函数图象的交点，即定函数图象与动直线的交点个数。通过图像展示，学生体会函数零点的变化情况。使学生明白两个函数图象的交点问题与一个函数零点问题是等价问题。

检查学生对于利用导数研究函数零点问题的掌握情况及对函数零点等价问题的理解。体现研究函数零点问题常见的两个方向，一是直接研究含参数函数的图像和性质，二是参变分离转化为两个函数的交点问题，便于集中研究一个不含参数的函数，从而降低解题难度。通过本环节的活动，学生参与利用导数研究函数性质解决函数零点问题，体会导数的工具作用。

例2、已知函数f(x)x11(aR,e为自然对数的底数),若直线l:ykx1与曲线

exyf(x)没有公共点,求k的最大值. 解法一: 直线l:ykx1与曲线yfx没有公共点,

等价于关于x的方程kx1x11在R上没有实数解,即关于x的方程: ex1 (*) 在R上没有实数解. ex1①当k1时,方程(*)可化为x0,在R上没有实数解. e1②当k1时,方程(*)化为xex. k1k1x令gxxe,则有gx1xe. 令gx0,得x1, xx当x变化时,gx的变化情况如下表: x

gx

gx

,1



1

1,



0

1

e

3

当x1时,gxmin,同时当x趋于时,gx趋于, 从而gx的取值范围为,. 1e1e所以当11,时,方程(*)无实数解, 解得k的取值范围是1e,1. k1e1, 则

xe综上,得k的最大值为1. 解法二:

令gxfxkx11kx直线l:ykx1与曲线yfx没有公共点, 等价于方程gx0在R上没有实数解. 假设k1,此时g010,g1110, 1k1ek1又函数gx的图象连续不断,由零点存在定理,可知gx0在R上至少有一解,与“方程gx0在R上没有实数解”矛盾,故k1. 又k1时,gx设计意图：

根据例1的解法，学生应该不难想到参变分离的方法，但在参变分离中为了保证所研究的不含参函数的连续性，有时需要对参数部分的结构做些改变（比如取倒数）。

对于解法二，直接讨论含参函数的性质，重点在于结合零点存在性原理判断指定区间上的零点是否存在。

由本题的思维过程可以看出，一般学生更习惯进行参变分离，所以教师在小结两种方法的时候要注意提醒学生参变分离的难度往往在于分离后的函数很难用导数清楚的研究其性质，所以直接分析含参函数也是值得考虑的方法。

例3、已知函数f(x)a10,知方程gx0在R上没有实数解. 所以k的最大值为1. ex1lnx(aR)

x2（1）若a2，求函数f(x)在(1,e)上的零点个数（e为自然对数的底数）

（2）若f(x)有两个零点x1,x2(x1x2)，求证x1x22

1x22，故f(x)在(1,e)上单调递减，所以f(x)在(1,e)上至多2x122只有一个零点，有f(1)f(e)20，故f(x)在(1,e)上只有一个零点. e解：（1）由题设，f(x)1引例：已知函数f(x)a(x)(a0),若f(x)有两个零点x1,x2(x1x2)，求证x1x22

x

4

解：x1,x2是函数f(x)的零点，ax1111ax20,(x1x2)(1)0,x1x2x1x2

11,x1x2x12.x1x1x分析一：

1、f(x1)f(x2)消去参数a;

2、令t2,得到x1、x2与t的关系; 3、将x1x22

x10x1x2,x1x20,x1x21,x2表示成关于t的一元函数g(t); 4、对g(t)求导，证明g(t)0，得到结论(2)解法一：依题意，有axxx11lnx1lnx2，于是21ln2．

x1x2x1x2x1记t1x2t1．

t,t1．则lnt,故x1tlntx1tx1t21于是x1x2x1(t1)，tlntt212lntt212tlntt21t,t1．

，记函数g(t)2lntx1x22ttlntlnt21(t1)20，故g(t)在(1,)上单调递增．

因g(t)122ttt于是，t1时，g(t)g(0)0．又lnt0，所以，x1x22

1、求极值点x0和f(x)的单调性；2、构造对称差函数F(x)f(x0x)f(x0x)分析二：并求其单调性；3、判断F(1x1)与F(x0)的大小关系，得到f(x2)与f(2x0x1)的大小关系；4、由x2x0,2x0x1x0及f(x)在(x0,)上的单调性，得证x2与2x0x1的大小关系. (2)解法二：由（）可知1f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.11又x1x2,0x11,x21.令F(x)f(1x)f(1x)ln(1x)ln(1x).1x1x4x2则F(x)0.F(x)单调递减.当x0时，F(x)F(0)0,f(1x)f(1x).(1x)2(1x)20x11,01x11,f[1(1x1)]f[1(1x1)]即f(x1)f(2x1).又x1,x2是函数f(x)的两个零点,f(x2)f(x1)f(2x1).0x11,2x11,又x21,且f(x)在(1,)上单调递减，x22x1,x1x22.

设计意图：

进一步体会导数在解决函数零点问题过程中的工具性作用，了解简单的与函数零点有关的证明问题的解题思路。一是通过零点定义f(x1)f(x2)0合并消参，化为一元函数的

5

单调性证明问题；二是构造差函数F(x)f(x0x)f(x0x)，利用导数判断差函数的单调性，进而比较f(x0x)与f(x0x)的大小，然后结合函数的单调性证明结论。

归纳小结

1、函数零点问题可以转化为哪些等价问题？

2、利用导数研究函数零点问题的策略。

3、解决这类问题的关键是什么？

设计意图：通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。

反馈练习

1、已知函数f(x)x2xsinxcosx。

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(a,f(a))处与直线yb相切，求a与b的值。

（Ⅱ）若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。

32、已知函数f(x)ax3(a2)x26x3

2（1）求函数的单调区间

（2）试讨论曲线yf(x)与x轴公共点的个数。

3、（选做）已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点. （1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22

2017年10月

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