习题2.3教学设计和教学实录

高中数学选修2-1 2.3 双曲线(习题)

古浪五中 郭明

【课标要求】

1．掌握双曲线的简单的几何性质．

2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．

3．掌握直线与双曲线的位置关系．

【核心扫描】

1．双曲线的几何性质的理解和应用．(重点) 2．与双曲线离心率，渐近线相关的问题．(难点) 3．经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力．

标准方程

xy2－2＝1(a＞0，b＞0)

ab

图形

22y2x2－2＝1(a＞0，b＞0) a2b

焦点

焦距

范围

对称性

性质

顶点

轴长

离心率

渐近线

xy±ab＝0

|x|≥a，y∈R

|y|≥a，x∈R

关于x轴、y轴、原点对称

实轴长＝

，虚轴长＝

ce＝

a

(e＞1) xy±ba＝0

1

试一试：尝试用a，b表示双曲线的离心率．

c提示

e＝＝a

a2＋b2＝a2b21＋2.

a名师点睛

1．双曲线几何性质的理解

x2y2x2y2(1)范围：以a2－b2＝1(a>0，b>0)为例，由于a2＝1＋b2≥1，即x2≥a2，∴|x|≥a，即双曲线位于x≤－a和x≥a所表示的区域内．

(2)顶点：双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点，双曲线只有两个顶点，相应的线段叫实轴，实轴长为2a.而虚轴长为2b，且a2＋b2＝c2.特别地当2a＝2b时的双曲线叫等轴双曲线，方程为x2－y2＝a2或y2－x2＝a2. c(3)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a叫双曲线的离心率，由于c>a>0，∴e>1，且e越大，双曲线的“张口”越大．特别地，等轴双曲线的离心率e＝

2为定值．

注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．

(2)弦长公式：斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝

1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2. 2．直线与双曲线的位置关系

(1)一般地，设直线l：y＝kx＋m，①

x2y2双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)．②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．

②当b2－a2k2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

x2y2(4)①已知双曲线方程求渐近线方程，只需将方程a2－b2＝1(a>0，x2y2xb>0)右边的“1”换成“0”即可，即由a2－b2＝0得出渐近线方程是ayby2x2±b＝0，即y＝±x.类似地，对于方程2－2＝1(a>0，b>0)，则aaby2x2a由a2－b2＝0得渐近线方程是y＝±bx. x2y2②与双曲线a2－b2＝1有共同渐近线的双曲线方程为

x2y2a2－b2＝λ(λ≠0)．

2

题型一

已知双曲线的标准方程求其几何性质

【例1】

求双曲线16x2－9y2＝－144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

[思路探索] 可先把方程化成标准方程，确定a，b，c，再求其几何性质．

解

把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程由此可知，半实轴长a＝4，

半虚轴长b＝3，c＝a2＋b2＝5. y2x2＝1，

2－432c5焦点坐标为(0，－5)，(0，5)；离心率e＝a＝4；

顶点坐标为(0，－4)，(0，4)；

4渐近线方程为y＝±3x.

已知双曲线的标准方程确定其性质时，一定要弄清e.若方程不是标准形式的先化成标准方程，再确定a、b、c规律方法

方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，从而确定的值．

【变式1】

求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．

解

y2x2将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程4－12＝1，

3，

∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2∴c＝a2＋b2＝16＝4. ∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝43. 焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0，4)，顶点坐标为A1(0，－2)，

A2(0，2)，渐近线方程为y＝±

3x，离心率e＝2. 3

题型二

根据双曲线性质解决实际问题

例2、已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为___

分析：由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系设双曲线方程为，结合a，b，c的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．．

解：如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，

过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，

在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，

3

即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=3a

所以点M的坐标是（a ，

故

e=2

想一想：你能求出渐近线方程吗？

3

a ），代入双曲线方程得: 题型三

直线和双曲线的位置关系

x2y2已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．ab(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．x2y2解：(1)∵双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶abc＝3，点，∴aa＝3，x2y2解得c＝3，b＝6，∴双曲线的方程为－＝1．36x2y2(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，36∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x2y2－＝1，36联立3y＝x－3，3得5x2＋6x－27＝0．3(x－3)．3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，627则x1＋x2＝－，x1x2＝－．55所以|AB|＝11＋×3627－2－163．5－4×5＝5

课堂小结：

1、理解和掌握双曲线的定义和标准方程。

2、会根据方程得出双曲线的几何性质（如顶点，焦点，

实轴和虚轴长，渐近线和离心率等）。

3、熟练运用方程（组）思想解决圆锥曲线的计算问题。

作业：

习题2.3解答题

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