3.4 生活中的优化问题举例名师教学设计2

3.4

生活中的优化问题举例

【课标学习目标】

了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用，并能正确利用导数这一工具求出最大(小)值．

[情景引入] 寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象．像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服．在人们的日常生活中，最优化无处不在，刷牙时会发现，牙膏的包装有大有小．其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？吃东西时，想过营养成分的搭配吗？开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的题目吗？开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的题目吗？总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不探求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等．

【课前预习】

1．求利润最大、用料最省，效率最高问题，这些问题通常称为________．

2．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法和注意问题：

(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式________，根据实际问题确定y＝f(x)的________．

(2)求f′(x)，解方程________，得出所有实数根．

(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．应注意的问题：①求实际问题的最大(小)值时，要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值就应舍去．②在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的________．

【题型探究】

【例1】用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

【解析】设容器高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)

＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．

求V(x)的导数，得

V′(x)＝12x2－552x＋4 320 ＝12(x2－46x＋360) ＝12(x－10)(x－36)．

令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．

当0＜x＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数；

当10＜x＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数．

因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600 (cm3)．

答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3. 【评析】在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大(小)值，这一点在解决实际问题中很有用．

【例2】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

【解析】根据题意可知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则

∵BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有

y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0＜x＜50)．

y′＝－3a＋5ax22，令y′＝0，解得x＝30. x＋40当00.

因此函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 km.[来源学&科&网]

∴供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．

【评析】(1)本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．

(2)根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系，这是解决本题的方法和技巧．

例3

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001 m)时M用料最省？

【分析】用料最省问题最终转化为所列函数的最小值问题．

1x【解析】

依题意，有xy＋·x·＝8，

22x28－48x所以y＝＝－(0

xx4于是框架用料长度为

l＝2x＋2y＋2162x3＝2＋2x＋. x2316l′＝＋2－2. 2x316令l′＝0，即＋2－2＝0，

2x解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)．

当0

当8－420，

所以当x＝8－42时，l取得最小值．

此时，x＝8－42≈2.343(m)，y≈2.828(m)．

即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．

【评析】本题利用面积8 m2，找出x，y之间的关系，然后将框架的周长表示成x的函数．方法一是利用导数求最值．方法二是利用基本不等式求最值．两种方法均是求函数最值的基本方法，都应该掌握，至于选用哪种方法简便，应具体问题具体分析．就本题而言，方法二简便些，无论使用哪种方法都应注意定义域的确定．

[课堂小结][来源学科网][来源:Zxxk.Com]

1．解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

2．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．

3．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：

(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；

(3)所得的结果要符合问题的实际意义．

[课后作业] 1．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产(

) A．6千台

B．7千台

C．8千台

D．9千台

解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

答案：A

[来源:Z+xx+k.Com][来源学#科#网]

2．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(

) A．32米，16米

B．30米，15米

C．40米，20米

D．36米，18米

解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米，其他两边长为y米，则xy＝512，新建围墙的长l512512＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－2＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.

选择：A 163．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(

) A．10

B．15

C．25

D．50 解析：设矩形的一边长为x，则另一边长为225－x2，于是矩形面积S(x)＝2x·25－x2，则S′(x)＝50－4x2择:C 4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．

解析：用料最省，即水桶的表面积最小．

52525252，令S′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，因此当x＝时面积取最大值为S()＝25。选222225－x2

272754π设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为2，所以S＝πr2＋2πr×2＝πr2＋rrr(r>0)．求导数，得S′＝2πr－54π.令S′＝0，解得r＝3. r2当03时，S′>0.所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．

答案：r=3.