一、圆锥曲线的光学性质及其应用优质课教案内容

圆锥曲线光学性质教学设计

课题：

圆锥曲线光学性质

科目：数学

提供者：

一、教学内容分析

本节课讲述的是圆锥曲线光学性质，具体有：（1）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（2）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；

（3）抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。此外，本节课还介绍了圆锥曲线光学性质在物理和数学上的简单应用。课程内容属于课后阅读材料，难度略高于高考要求。而在近几年的各大名校自主招生考试中经常出现类似的考点，故本节课内容可作为优秀生的培优教程。

教学对象：高二（15）班 课时：

1课时

张卫年 单位： 韶关市第一中学

二、教学目标

（一）知识与技能

1.了解圆锥曲线的光学性质；

2.会推导椭圆的光学性质；

3.掌握圆锥曲线光学性质的简单应用。

（二）过程与方法

1.师生共同探索圆锥曲线的光学性质，感受建模过程；

2.学生自主学习，自主发现光学性质的原理本质。

（三）情感态度与价值观

1.师生感受自然界中物理特性的美妙；

2.让学生树立正确的价值观，合理利用自然界和谐的一面。

三、学习者特征分析

学生属于数学基础比较扎实的群体，有良好的数学学习习惯，对于用数学解决实际问题有较浓厚的兴趣；在能力方面，对于前一段时间学习的圆锥曲线方程与性质已掌握得比较好！已具备相当的构建方程（或不等式）解决几何问题的能力，具备一定的将实际问题转化为数学问题的能力；有自主探索的良好习惯及能力，由于阅历不丰富，对于一些实际问题了解得不是很深入，需要老师从旁点拨。

本班有50人，按学校要求分成了7个小组，平时小组内成员讨论问题的氛围都比较良好，课堂自主探究问题都比较积极。为本节课提供了不少便利。

四、教学策略选择与设计

理念：一切为了学生的发展，有效增长课堂效益。

方法：老师提供阅读材料，激发学生自主发现问题，自主探索，老师从旁协助学生解决疑难；

老师提供经典练习，激发学生自主思考问题，合作探究，老师从旁协助学生解决问题。

五、教学重点及难点

【教学重点】

圆锥曲线光学性质及其应用

【教学难点】

圆锥曲线光学性质的证明

六、教学过程

序号

教师活动

展示图片，讲述典故

学生活动

设计意图

监狱泄密事件

这是一个发生在古希腊的故事。

西西里岛的统治者开凿了一个岩洞作为监狱。被关押在岩洞的犯人，不堪忍受这非人的待遇，他们晚上偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的方法。可是他们商量好的计划很快被看守官员掌握了。看守官员提前采取了措施，使犯人商量好的计划无法实行。犯人们开始互相猜疑，认为犯人中间一定出了叛徒，但是，不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么一回事呢？

（一）

后来才搞清楚，这个岩洞不是随便开凿的，而是请了一位叫狄奥尼修斯的官员专门设计的，他设计的岩洞监狱采用了椭圆形的结构，这种特殊的结构使得犯人在最里面小声议论的声音，通过反射可清楚地传到看守人的耳朵里。人们就把这种设计叫“狄奥尼修斯之耳”。

椭圆究竟有什么特殊性质，使犯人屡次上当？

激发学生的学习兴阅读展示的趣，让学图片及材料，生积极主思考问题

动思考问题

最高女祭司取奥运圣火

庄严鼓声响起，身穿白色古希腊传统长裙的20名女祭司分成两列，踏着鼓点从赫拉神庙的柱子中鱼贯走到神庙前的祭坛，围绕祭坛变换几次队形后沿祭坛站成一圈。最高女祭司身穿白色古希腊传统裙装，手捧火种钵，从神庙深处穿过众人走到祭坛中央。在朗诵一段致太阳神的颂词后，她手持火炬，将其置入祭坛前放置的凹面镜聚焦点上。

在充足的太阳光直射下，五秒钟左右火苗就已燃

起。

火炬为什么会被点燃？我们在初中已经学过凹面镜具有聚焦的作用，究竟是为什么呢？

原来这个凹面镜是抛物线形的，太阳光照射在凹面镜时，这些平行于抛物线对称轴的光线会全部被反射聚集在焦点处，使得交点处的温度达到一定程度，足以点燃火炬。

抛物线究竟有什么特殊性质，能让温和的太阳光达到如此高温？

开篇点题

知识新授

圆锥曲线是非常经典的曲线，他们有很多非常有用的性质，今天我们要讲述是圆锥曲线的光学性质：

椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点做笔记，画图（二）

上；

识记

双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；

抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴

开门见山，提升课堂效率

追根溯源，性质证明

1.说明：本节课只证明椭圆的光学性质，将双曲线及抛物线的光学性质留给学生课后自己推理证明。

2.按顺序给出预备定理和定理的形式，巡堂并指导学生完成证明过程：

x2y2预备定理：若点P(x0,y0)是椭圆221ab上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：x0xy0y21。

2b（三）

a证明：

y2x2由212ba1°当在，且kx2yb(12)……①

a22学生按照老师安排按顺序自主证明预备定理和定理

养成学生严谨治学的习惯，培养学生推理演算能力

xa时，过点P的切线斜率k一定存y'|xx0

2b2∴对①式求导：2yy'2x0

a

∴b2x0ky'|xx02ay0∴切线方程为b2x0yy02(xx0)…………②

ay0x2y2∵点P(x0,y0)在椭圆221上，

ab故

22x0y021

代入②得

2abx0xy0y21…………③

2ab而当xa时，y00

切线方程为xa，也满足③式

故x0xy0y21是椭圆过点P(x0,y0)的切2ab线方程. 定理：

椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分

x2y2已知：如图，椭圆C的方程为221，F1,F2abl是过椭圆上一点P(x0,y0)的分别是其左、右焦点，l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，切线，交x轴于D设F2PD,F1PD，

求证：.

x2y2证法一：在C:221上，P(x0,y0)C，

abxxyy则过点P的切线方程为：02021

ab

l'是通过点P且与切线l垂直的法线，

y0x011)x()xy(2)

00222babac2∴法线l'与x轴交于D(()x0,0)

ac2c2∴|F1D|2x0c,|F2D|c2x0

aa|F1D|a2cx0∴

2|F2D|acx0又由焦半径公式得：|PF1|aex0,|PF2|aex0

|FD||PF1|∴1

|F2D||PF2|∴PD是F1PF2的平分线

∴

∵90，

则l':(故可得

定理再现，直观理解

给出其他两个光学性质的符号语言，数学语言，留待学生自行证明

x2y21.已知：如图，双曲线C的方程为221，F1，abF2分别是其左、右焦点，l是过双曲线C上的一点P(x0,y0)的切线，

求证：直线F1P与F2P关于直线l对称

（四）

2.

已知：如yPF1F2x学生在笔记本上画图理解双曲线及抛物线的光学性质的数学语言及符号语言

再次巩固光学性质的各种形式，加深印象，增强理解。

图，抛物线C的方程为为y24cx，

直线l是过抛物线上一点P(x0,y0)的切线，

交x轴于D，DPF，

PDF

与x轴平行的直线PQ与l所成角记为，

求证：

DyPαβQγFx将知识及时应典例剖析，性质应用

学生尝试用在例题老师提供经典例题让学生思考，然后师生共同应用圆锥曲（五）

给出例题的详细答案。

上，加深线的光学性例1.（2011年北京大学保送生考题）求证：过双曲学生对知质解决题目

线上一点P的切线平分∠F1PF2，其中F1，F2为焦点。

识的理解。

yPβαF1DF2x

例2.（2011年高考全国卷Ⅱ理科第15题）

x2y21的左，已知F1，F2分别为双曲线C：

927右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2,0），AM为∠F1AF2的平分线，则AF2=

；

（参考答案）

例1.本题其实就是等价于双曲线的光学性质

具体过程如下：

x2y2证明：C:221

ab两焦点为F1(c,0)，F2(c,0)

(cab)

222P(x0,y0)在双曲线上

则过点P的切线x0xy0y21

a2ba2切线l与x轴交于D(,0)。

x0由双曲线的焦半径公式得

|PF1||ccx0a|,|PF2||x0a|

aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0)，F(c,0)

故|DF1||acac||x0a|,|DF2||||x0a|,

x0ax0a

cx0a||PF1||DF1|

a|PF2||cxa||DF2|0a|故

，

∴切线l为F1PF2之角分线。

例2.解：设A(x0,y0)，则双曲线C在点A处的切线也即直线AM的方程为x0xy0y1，因为它927过点M(2,0)，所以x099315，可得A(,)得222AF26（两点间距离公式）

例题回顾，知识沉淀

例1是北京大学保送生考题，不常规。学生在解决问题的时候容易想到解析法，属于中档题。而参考答案中应用了角平分线的性质，题目显得比较简单。学生在平时解析几何的学习过程中还是要多留意一下平面几何知识。

回顾分另外该题相当于是双曲线光学性质的再现，学生可（六）

以由此加深对性质的理解。

析，思考老师例2则是应用了双曲线光学性质这一技巧，轻松知的讲解

道角平分线AM就是双曲线在点A处的切线，进而知道了A的坐标。这道题的常规方法就是列方程组，通过解方程组得到点A的坐标，比较繁琐。不过常规方法可以解决当AM直线上的点为一般点的情况，因为对于例2，如果给出的特殊点不是在坐标轴上的话就没什么优势了。

让学生再次巩固圆锥曲线光学性质，明白该性质的优势及不足。

积极思考，充分应用x2y21上一动点P的椭1.已知l是过椭圆C：本节课所学1612（七）

知识完成练圆C的动切线，过C的左焦点F习，学生之间1作l的垂线，求垂可以相互讨足Q的轨迹方程。

论

自主练习，巩固新知

提高难度让学生的知识结构得以完善，解题能力得以提高

F2'y

P

Q

F1F2x

分析：如图，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐，由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l是∠F1PF2的外角平分线，F1关于直线l的对称点F2'在F2P的延长线上。

这样，由于PF1PF2'，

故F2F2'PF而Q，O分别是1PF22a8，F1F2',F2'F2的中点，所以QO4。从而Q点轨迹是O以为圆心，以4为半径的圆。

2.（2006年北京大学自主招生保送生测试试题）已x2y2知F1，F2分别为椭圆Γ：

221的两个焦点，ab如图所示，直线l1，l2是椭圆Γ的过椭圆外一点P的两条切线，切点分别为T1，T 2，证明：∠F1PT1=∠F2PT2 '解：如右图所示，作点F1关于直线PT1的对称点F1，'则由椭圆的光学性质知三点F1,T1,F2共线，连结F1F1',T1F1,F1'F2，可得

F1'F2F1'T1T1F2FT11T1F22a

再作点F2关于直线PT2的对称点F2'，得三点

yF1'T1PT2F2'F1OF2xF2',T2,F1共线，连结F2F2',T2F2,F2'F1，可得。F2'F1F2'T2T2F1F2T2T2F12a。所以F2F1'F2'F1，进而可得△F1'PF2≌△F1PF2'，因''此∠F-∠=∠FPFPFFPF121PF2，2∠1212-∠FF1PT1=2∠F2PT2，∠F1PT1=∠F2PT2

（八）

课堂小结，知识升华 引导学生对本节课所学知识进行小结反思

结合自身能力小结反思

升华课堂

巩固知识