2.3 抛物线（通用）优质课一等奖

抛物线

2．4．1

抛物线及其标准方程

预习课本P64～67，思考并完成以下问题

1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？

2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？

[新知初探]

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线标准方程的几种形式

图形

标准方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线(

)

焦点坐标

准线方程

px＝－

2p，0

2－p，0

20，p

20，－p

2px＝

2py＝－

2py＝

2

(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)(

) 答案：(1)×

(2)×

2．抛物线x＝－2y2的准线方程是(

) 1A．y＝

21C．x＝

4答案：D 3．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

答案：y2＝8x

求抛物线的标准方程

[典例]

求适合下列条件的抛物线的标准方程：

(1)过点M(－6,6)；

(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．

[解]

(1)由于点M(－6,6)在第二象限，

∴过M的抛物线开口向左或开口向上．

若抛物线开口向左，焦点在x轴上，

设其方程为y2＝－2px(p>0)，

将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，

∴p＝3．

∴抛物线的方程为y2＝－6x．

若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，

将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，

∴p＝3，

∴抛物线的方程为x2＝6y．

综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．

(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，

∴抛物线的焦点是F(2,0)，

p∴＝2，∴p＝4，

2∴抛物线的标准方程是y2＝8x．

②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，

1

B．y＝

81

D．x＝

8

即抛物线的焦点是F(0，－3)，

p∴＝3，∴p＝6，

2∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．

综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．

求抛物线的标准方程的关键与方法

(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．

(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．

②直接根据定义求p，最后写标准方程．

③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．

[活学活用]

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．

77－，0，准线方程是x＝．

解：(1)因为p＝7，所以焦点坐标是221210，，准线方程(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是10551是y＝－．

10aaa，0，准线方程是x＝－．

(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是424抛物线定义的应用

5[典例]

(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x04＝(

) A．1

C．4

B．2

D．8 (2)(浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(

) |BF|－1A．

|AF|－1|BF|2－1B．

|AF|2－1

|BF|＋1C．

|AF|＋1|BF|2＋1D．

|AF|2＋115[解析]

(1)由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得4415x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．

44(2)由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点|BC|共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点|AC|F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，|BC||BM||BF|－1BM∥AN，∴＝＝．

|AC||AN||AF|－1[答案]

(1)A

(2)A

抛物线定义的两种应用

(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．

(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．

[活学活用] 1．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(

) 357A．

B．1

C．

D．

4441解析：选C

根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|21315＋|BF|)－＝－＝．

42442．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为(

) πππ2πA．

B．

C．

D．

6423解析：选C

由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠

AFA1＝∠AA1F．又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA11ππ＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝．

222抛物线的实际应用

[典例]

某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，

问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？

[解]

如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，

所以A(10，－2)．

设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，

则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，

所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－12x．

50若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，

y＝－1×82＝－1．28，

50即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．

而船体高为5米，所以无法通行．

又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，

150×7＝1 050(吨)，

所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．

求抛物线实际应用的五个步骤

(1)建系：建立适当的坐标系；

(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；

(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；

(4)求解：求出需要求出的量；

(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．

[活学活用]

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，

所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．

答案：26 层级一

学业水平达标

1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为(

) A．3

1C．

48

B．6

D．1

24解析：选C

将方程化为标准形式是x2＝1距离最小值为．

48111y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的1212242．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(

) A．

C．2

B．1

D．4 pp解析：选C

∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，22即p＝2．

3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝(

) 7A．

2C．3

5B．

2

D．2

解析：选C

过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．

4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(

) A．抛物线

C．椭圆

B．双曲线

D．圆

解析：选A

由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．

x2y25．已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的ab焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(

) 83A．x2＝y

3C．x2＝8y

B．x2＝163y

3

D．x2＝16y

a2＋b2＝

a2b21＋a＝2，所bc解析：选D

双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于aa＝p2pb0，，所以＝2，以a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±3x．抛物线的焦点坐标为22所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．

6．抛物线x＝12y的焦点坐标是________．

4m解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．

答案：(m,0) 7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

解析：设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，

由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，

∴点M到y轴的距离为9. 答案：9 8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号) 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上

5p57一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为2，0，2225x－，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，过该焦点的直线方程为y＝k2此时存在，所以④满足．

答案：②④

9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦pp0，－，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|点F22pp＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．

22所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．

由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±26．

p0，－．

法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F2∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，

m＝6p，p＝4，故解得

p2226.m＝±

m＋－3＋2＝5，2

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2．

10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．

(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；

(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)? 解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，

因为点C(5，－5)在抛物线上，

所以该抛物线的方程为x2＝－5y．

(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，

故D(3．5，h－6．5)，

代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，

所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．

层级二

应试能力达标

1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(

) A．圆

C．直线

B．椭圆

D．抛物线

解析：选D

设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．

2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(

) A．23

C．6

B．4

D．43 解析：选D

如图，∵△FPM是等边三角形．

∴由抛物线的定义知PM⊥l．

在Rt△MQF中，|QF|＝2，

∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，

∴S△PMF＝32×4＝43．故选D．

43．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为(

) 33A．

B．

C．1

D．2 42解析：选D

设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝|AC|＋|BD||AF|＋|BF||AB|＝≥＝3，所222以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．

4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(

) A．y2＝4x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x

B．y2＝2x或y2＝8x

D．y2＝2x或y2＝16x

p解析：选C

由已知得抛物线的焦点F2，0，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，2py0，－2，AM＝，y0－2．由已知得，AF·AM＝0，即y2则AF＝0－8y0＋16＝0，22p8因而y0＝4，Mp，4．

由|MF|＝5得，

8－p2＋16＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．

p2

5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________．

解析：因为FA＋FB＋FC＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．

答案：6 6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．

解析：如图，∵|PM|＝5，

∴点P的坐标为(4,4)，

1∴S△PMF＝×5×4＝10．

2设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，

∴S△PMF＝S△O

′PM＋S△O

′PF＋S△O

′MF，

5－51即(5＋5＋25)r＝10，解得r＝，

2215－55故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．

2答案：15－55π

27．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．

求证：以MF为直径的圆与y轴相切．

证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．

∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，

1∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|) 21＝(|QM|＋|QN|) 211＝|MN|＝|MF|，

22∴以MF为直径的圆与y轴相切．

8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．

(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．

由抛物线的定义，知|PF|＝d，

于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．

如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝5．

(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，

因为12>2，所以点B在抛物线内部．

自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．

由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，

则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．

即|PB|＋|PF|的最小值为4．

2．4．2

抛物线的简单几何性质

预习课本P68～72，思考并完成以下问题

抛物线有哪些几何性质？

[新知初探]

抛物线的简单几何性质

类型

y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象

焦点

准线

性质

范围

对称轴

顶点

离心率

pF2，0

px＝－

2x≥0，y∈R

x轴

O(0,0) e＝1

p－，0

F2px＝

2x≤0，y∈R

p0，

F2py＝－

2x∈R，y≥0

y轴

p0，－

F2py＝

2x∈R，y≤0

开口方向

向右

向左

[小试身手]

向上

向下

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴(

) 11(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝(

) 832答案：(1)√

(2)×

2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(

) A．8

B．16

C．32

D．64 答案：B x216y23．若双曲线－2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．

3p答案：4

抛物线方程及其几何性质

[典例]

已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．

[解]

如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，－y0)，

p又FkOB＝－1，

2，0是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·即y0x0－p－y0＝－1，∴y2x－·＝x0002，

px02p5p2又y0＝2px0，∴x0＝2p＋＝．

225p因此直线AB的方程为x＝．

2

根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．

[活学活用] 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，

O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．

解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则

aa，0，直线l：x＝，

焦点F22aa∴A，B两点坐标分别为2，a，2，－a，

∴|AB|＝2|a|．

∵△OAB的面积为4，

1a∴··2|a|＝4，∴a＝±22．

22∴抛物线方程为y2＝±42x．

直线与抛物线的位置关系

[典例]

若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB．

2y＝4x，[证明]

由消去y，得x2－12x＋16＝0．

y＝x－4，

∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，

∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16．

OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝

∵OA·x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，

∴OA⊥OB，即OA⊥OB．

将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．

[活学活用] 过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．

解：显然，直线斜率k存在，

设其方程为y－2＝k(x＋3)，

y－2＝kx＋3，由2

y＝4x，

消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0．①

(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，

此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．

(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．

k≠0，k≠0，由即

Δ＝0，16－4k8＋12k＝0，

1得k＝或k＝－1．

31所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，

3即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．

故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0．

抛物线中的最值问题

[典例]

在抛物线y2＝2x上求一点P．使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．

[解]

法一：设p(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝y20－y0＋32|y0－12＋5|＝，

222当y0＝1时，dmin＝152，∴P2，1．

4|x0－y0＋3|＝2法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，

x－y＋m＝0，由2得y2－2y＋2m＝0，

y＝2x，

1∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝．

21∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距213－2521，1．

离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为242

解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．

[活学活用] 设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．

解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2222x－a＋y＝3－a，22＋y＝(3－a)．由2消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分y＝2x，

析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝6－1．

答案：6－1 层级一

学业水平达标

1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(

) A．y2＝－11x

C．y2＝－22x

B．y2＝11x

D．y2＝22x

解析：选C

在方程2x－4y＋11＝0中，

11令y＝0得x＝－，

211p11－，0，即＝，∴p＝11，

∴抛物线的焦点为F222∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．

2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有(

) A．1条

C．3条

B．2条

D．4条

解析：选B

可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．

3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为(

) A．(2，±2 2)

B．(1，±2) C．(1,2)

D．(2,22) 解析：选B

设A(x，y)，则y2＝4x，①

又OA＝(x，y)，AF＝(1－x，－y)，

所以OA·AF＝x－x2－y2＝－4．②

由①②可解得x＝1，y＝±2．

4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(

) A．213

B．215

C．217

D．219 解析：选B

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋2．

2y＝8x，由得x2－4x＋1＝0，

y＝－2x＋2，

∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．

∴|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝1＋416－4＝5×12＝215．

5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(

) 33A．

463C．

32B．93

89D．

4333，0，直线AB的斜率k＝，故直线AB解析：选D

易知抛物线中p＝，焦点F423的方程为y＝33219x－，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，3421621213．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图222B(x2，y2)，则x1＋x2＝p319象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．

28246．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．

解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x1＋x2x2＝6，＝3，

2∴y1＋y2x1＋x2－26－2＝＝＝2．

222∴所求点的坐标为(3,2)．

答案：(3,2) 7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．

解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|pp＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐225标为．

2

57因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．

227答案：

2

8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则|AF|＝________．

|FB|pp30，，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得解析：由题意可得焦点F232A，B两点的横坐标为xA＝－|AF|1|BF|＝2p，所以＝．

|BF|31答案：

39．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．

解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

2∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y2＝6x2．

33132p，xB＝3p，故A－p，p，B3p，p，所以|AF|＝p，33623两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①

∵y1＋y2＝2，代入①得k＝y2－y1＝3．

x2－x1∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．

10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；

(2)求线段AB的长的最小值．

解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

p(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±23．

2∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．

(2)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝k(x－1)．

与抛物线方程联立，

y＝kx－1，得2消去y，整理得

y＝4x，

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．

∵直线与抛物线相交于A，B两点，

则k≠0，并设其两根为x1，x2，

4∴x1＋x2＝2＋2．

k4由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2>4．

k当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，

∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4．

层级二

应试能力达标

1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(

) A．y2＝3x

6

B．y2＝－3x

63C．y2＝±x

63

D．y2＝±x

331解析：选C

设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A±，(取点A在x轴上方)，则有221333＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．

42662．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(

) A．有且仅有一条

C．有无穷多条

B．有两条

D．不存在

解析：选B

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B．

3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(

) A．2或－2 C．2

B．1或－1

D．3 2y＝8x，解析：选C

由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，y＝kx－2，

得k>－1．则由4k＋2＝4，得k＝2．故选C．

k24．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝(

) 1A．

2C．2

B．2

2

D．2

解析：选D

由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4k＋2x1＋x2＝，k2则①

x1x2＝4.y1＝kx1－2，由

y2＝kx2－2y1＋y2＝kx1＋x2－4k，

②⇒

2y1y2＝k[x1x2－2x1＋x2＋4].

③2

∵MA·MB＝0，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0．

∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，

即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④

由①②③④解得k＝2．故选D项．

5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；若抛物线C上一点A到其准线的距离与到原点距离相等，则A点到x轴的距离为________．

p解析：∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，∴＝1，即p＝2.∵点A到其准2线的距离与到原点距离|OA|相等，且点A到准线的距离等于|AF|，∴|OA|＝|AF|，∴A点的11横坐标为，∴y2A＝4×＝2，解得|yA|＝2，即A到x轴的距离为2. 22答案：2

2 6．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为15，则抛物线方程为________．

解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，

2y＝ax，联立得4x2＋(4－a)x＋1＝0，

2x－y＋1＝0，

则Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0．

设直线与抛物线的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝a－41，x1x2＝．

44所以|AB|＝1＋22[x1＋x22－4x1x2] ＝a－4215×－4×＝15，

44

解得a＝12或a＝－4．

所以抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x．

答案：y2＝12x或y2＝－4x

7．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O为坐标原点．

(1)求证：OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于10 时，求实数k的值．

2y＝－x，解：(1)证明：由消去x，得ky2＋y－k＝0．

y＝kx＋1

1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知k≠0，则y1＋y2＝－k，y1y2＝－1．

222由A，B在抛物线y2＝－x上，可知y21＝－x1，y2＝－x2，则y1y2＝x1x2．

y1y2y1y21因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，

x1x2x1x2y1y2所以OA⊥OB．

(2)设直线与x轴交于点N．

令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．

111因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|，

2221所以S△OAB＝×1×y1＋y22－4y1y2

21＝

2－12＋4＝10．

k1解得k＝±．

6

8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交5点为Q，且|QF|＝|PQ|．

4(1)求C的方程；

(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

8解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝p．

pp88所以|PQ|＝p，|QF|＝＋x0＝＋p．

22p858由题设得＋p＝×p，解得p＝－2(舍去)或p＝2．

24所以C的方程为y2＝4x．

(2)依题意知l与坐标轴不垂直，

故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．

代入y2＝4x得y2－4my－4＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．

故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，

|AB|＝m2＋1|y1－y2| ＝m2＋1·y1＋y22－4y1y2

＝4(m2＋1)．

又l′的斜率为－m，

1所以l′的方程为x＝－my＋2m2＋3．

将上式代入y2＝4x，

4并整理得y2＋my－4(2m2＋3)＝0．

设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

4则y3＋y4＝－m，y3y4＝－4(2m2＋3)．

2222＋2m＋3，－故MN的中点为Em，

m|MN|＝＝1＋1＋1|y－y| m234122·y3＋y4－4y3y4

m4m2＋1

2m2＋1＝．

m21由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

2222222122122224m＋12m＋1从而|AB|＋|DE|＝|MN|，即4(m＋1)＋2m＋m＋m2＋2＝．

44m4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．

所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．

(时间120分钟

满分150分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(

)

y2x22A．x－＝1

B.－y＝1 4422y222xC.－x＝1

D．y－＝1 44解析：选C

由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C. 2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是(

) A．椭圆

B．双曲线

C．抛物线

D．圆

解析：选C

由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．

sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．

3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(

) 132A.或

B.或2 223123C.或2

D.或

232解析：选A

设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，13∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝. 22x224．设F1，F2是双曲线－y＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为23时，PF1―→·PF2―→的值为(

) A．2

B．3 C．4

D．6 解析：选B

设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，

1∴PF1―→＝(－2－x0，－y0)，PF2―→＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|2x20222＝2，∴|y0|＝1.又－y2→·PF2―→＝x20＝1，∴x0＝3(y0＋1)＝6，∴PF1―0＋y0－4＝6＋1－43＝3. 5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

) 11－，

B．[－2,2] A.22C．[－1,1]

D．[－4,4] 解析：选C

准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，

y＝kx＋2，由2得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. y＝8x，

当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，

当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上，k的取值范围是[－1,1]．

16．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则4该椭圆的离心率为(

) 11A.

B.

3223C.

D.

34解析：选B

不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l|－bc|xyc111的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知22＝×2b，解得＝，即e＝.故选cba22b＋c4B. 17．已知|AB―→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP―→＝OA―→＋32OB―→，则动点P的轨迹方程是(

) 32x222yA.＋y＝1

B．x＋＝1 442x222yC.＋y＝1

D．x＋＝1 9912解析：选A

设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x332132232＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|AB―→|＝3，所以x20＋y0＝9，即2x＋(3y)＝9，332x22化简整理得动点P的轨迹方程是＋y＝1. 48．(四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(

) A．(1,3)

B．(1,4) C．(2,3)

D．(2,4) 解析：选D

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos θ，rsin θ)

2y1＝4x1，则2

y2＝4x2.

两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．

当直线l的斜率存在时，

可得2rsin θ(y1－y2)＝4(x1－x2) ⇒kAB＝y1－y22＝. x1－x2rsin θrsin θ－0sin θ＝. 5＋rcos θ－5cos θ又∵kMC＝cos θ1∴kAB＝－＝－. kMCsin θ∴－2cos θ2＝－⇒r＝>2. rsin θsin θcos θ由于M在抛物线的内部，∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12. r2－4∴|rsin θ|<23.∴|rsin θ|＝r·＝r2－4<23⇒r2<16⇒0

412解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．

x2y2答案：＋＝1 1612x2y210．设P是双曲线2－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则aa9＝________.F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝________. x2y2解析：双曲线2－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，a9故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7. 答案：2

7 x2y2x2211．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1的一个交点，623则△PF1F2的面积为________．

解析：由题意知|F1F2|＝26－2＝4，

设P点坐标为(x，y)．

由x3－y＝1，22x2y2＋＝1，62

x＝±322，得2y＝±2.

112则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝2. 222答案：2 12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，则F的坐标为________．若|FA|＝2|FB|，则k＝________. 解析：抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x8－4k2＋4k＝0，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝4，由|FA|＝2|FB|及抛物线定k2义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x22＋x2－2＝0，解得x2＝1或8－4k2822x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，2＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝. k93答案：(2,0)

22

313．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．

p解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x0≥0)，则有|QF|＝x0＋的2pp最小值是＝1，则p＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋＝4. 22答案：2

4 x2y2314．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.则双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为ab2________，若渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为____________．

解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为椭圆的离心率为2c33，所以e＝a＝，22x2x2x2x25x2322221222c＝a＝a－b，所以b＝a，即a＝4b.代入椭圆方程得2＋2＝1，即2＋2＝2＝1，44ab4bb4b4242所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±

b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交5555点坐标为2b，2b，所以四边形的面积为4×2

b×2

b＝16b2＝16，所以b2＝5，所以55555

x2y2椭圆方程为＋＝1. 205x2y2答案：y＝±x

＋＝1 205x2y215．已知二次曲线＋m＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是4________．

解析：∵m∈[－2，－1]，

x2y2∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，

4－m∴e＝4－m. 2∵m∈[－2，－1]，

∴56≤e≤. 2256，

22答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) x2y216．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1(a>0，abb>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点3，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．

P2解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，

3，6在抛物线上，

∵点P23∴6＝2p×.∴p＝2，

2∴所求抛物线的方程为y2＝4x. ∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1，

3，6在双曲线上，

又点P2∴962－2＝1，

4ab22a＋b＝1，解方程组9

6－＝1，224ab

得3b＝421a2＝，4

a2＝9，或2(舍去)．

b＝－8

4∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1. 317．(本小题满分15分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．

解：设直线l的方程为y＝kx＋2，

2y＝2x，由消去x得ky2－2y＋4＝0. y＝kx＋2∵直线l与抛物线相交，

k≠0，1∴解得k<且k≠0. 4Δ＝4－16k>0，

4设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝k，

2y241y2从而x1x2＝·＝2. 22k∵OM⊥ON，

∴x1x2＋y1y2＝0，

44即2＋k＝0，解得k＝－1符合题意，

k∴直线l的方程为y＝－x＋2. x2y2318．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，

492(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．

解：(1)由xy4＋9＝1，223y＝x＋m，2

消去y，并整理得

9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①

Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．

∵直线l与椭圆有公共点，

∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m≤3 2. 故所求实数m的取值范围为[－3 2，3 2 ]．

(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2m2－186m由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，

99故|AB|＝1＋k2·

x1＋x22－4x1x2

＝

＝32－6m2－4×2m－18

1＋·299213·

－m2＋18，

3当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为26. x2y2619．(本小题满分15分)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和ab3B(a,0)的直线与原点的距离为3. 2

(1)求椭圆的方程；

(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．

解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0. c6＝，a3依题意ab3＝a＋b2，22

a＝3，解得

b＝1.x22∴椭圆方程为＋y＝1. 3(2)假若存在这样的k值，

y＝kx＋2，由2得

2x＋3y－3＝0，

(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. ∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.①

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则9xx＝.1＋3kx1＋x2＝－12212k，1＋3k2

②

而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4. 要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0. ∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③

77将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．

667综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E. 6x2220．(本小题满分15分)已知椭圆2＋y＝1(a>1)，

a(1)若椭圆的上顶点A(0,1)到焦点的距离为3，求椭圆的离心率．

(2)Rt△ABC以A(0,1)为直角顶点，边AB，AC分别与椭圆交于点B，C.若△ABC面积27的最大值为，求a的值．

8解：(1)∵A(0,1)到焦点的距离为3，

c26∴a＝3，c＝a2－b2＝2，e＝a＝＝. 331(2)不妨设直线AB斜率k>0，则AB：y＝kx＋1，AC：y＝－x＋1 ky＝kx＋1，22222由x得(1＋ak)x＋2akx＝0，

2a2＋y＝1，2a2k解得xB＝－，

1＋a2k22a2k同理xC＝2，

k＋a2则|AB|＝22ax2B＋yB－1＝y1y2·＝－1. x1＋1x2＋1

k1＋k2，

1＋a2k222a21＋k2同理可得，|AC|＝2. a＋k2k1＋k214S＝|AB||AC|＝2a×244222

2ak＋ak＋k＋a

1k＋k＝2a4×，

12222ak＋k＋a－11令k＋k＝t≥2，

t则S＝2a×22＝at＋a2－1242a4a3≤，

a2－12a2－12at＋ta2－1当且仅当t＝≥2，即a≥1＋2时取等号(a≤1－2舍去)．

aa327由2＝，

a－18解得a＝3，或a＝∴a＝3.

3±297(舍去)．

16