6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质教学设计及教案分析

6.3函数yAsinx的图像与性质（1）

上海市少云中学 庞璀卿

一、教学内容分析

[来源:学科网]

“函数yAsinx的图像与性质（1）”是继学生学习了正弦函数ysinx、余弦函数ycosx及正切函数ytanx的图像与性质等知识之后的一节重要内容，既是本章的重点又是本章的难点。函数yAsinx的图像与性质分为两节内容，第一节研究函数yAsinx的图像和性质及变换，第二节研究函数yAsinx的图像和性质及变换。

它是三角函数研究的继续与完善，是进一步学习物理学中的振动和波、交流电等实际问题的重要工具，更是高中数学的一个重要知识的点。本节课的信息量大、内容抽象、图形变化复杂，学生较难理解。又涉及到数形结合与分类讨论等数学思想，对学生的逻辑思维能力养成和创新意识的训练有积极的作用。

二、学生学情分析

学生已经学过正弦、余弦及正切三角函数图像和性质，研究过程中运用“五点法”作图，所以对于作图学生熟悉且掌握。本班学生在学习上专注力不够，整节课讲解或者少量的问答的情况会导致学生只能专注半节课的严重后果，降低教学效率。尽管课前布置预习，但学生的执行力不够，并不能达到很好的效果。这些都会导致课堂效率下降。所以需要做出一些措施来使学生学习更有效。一是尽可能地设计学生活动，通过动手以及适当的思考时间来增加学习效率，这一过程就是作图；二是要设计精准简洁的讲解方式来让学生更容易理解变换原理，真正做到“知其然知其所以然”，这一方法就是贯穿高中数学的数形结合的思想。

三、教学设计说明[来源:学|科|网Z|X|X|K]

本节课是为了学习三角函数的伸缩变换（周期变换与振幅变换），利用“五点法”画图法学习三角函数图像变化的规律，找出两种变换的方法。采用多媒体进行直观教学，通过演示图形的动态变化，引导学生利用已学过的知识去主动探索，通过对图形观察、分析、类比、归纳得出函数y＝Asin(ωx)图象性质及变换规律。

本节课对课本的例题进行了变式并作了方法指导，课堂练习设计了以课本为主的分层次的能力训练题，以满足不同层次学生的需求，进而实现对学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力的培养。

[来源四、教学目标设计

1、学会灵活运用“五点法”画函数y2、掌握用图像变换的方法画函数Asinx的图像，掌握函数yAsinx的图像与性质。

yAsinx的图像。

3、体验用科学的方法和观点来探索和分析问题，养成应用数形结合、分类讨论等数学思想分析问题、

解决问题的能力，形成由特殊到一般及由一般到特殊的数学思想方法，提高创新意识和创造能力。五、教学重点及难点

重点：函数yAsinx的图像与性质；

难点：函数ysinx的图像变换的方法的理解。

学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]

解决措施：通过“五点法”找出规律后，用坐标来解释图像变换的原因，然后上升到一般函数的关系，用数学代换的思想来理解图像变换。

六、教学时长：1课时

七、教学用具准备多媒体设备[来源:学科网]

实例引入

八、教学流程设计

复习函数ysinx的图像

函数y2sinx、y2sinx的图

像与函数ysinx的图像的关系

归纳总结函数yAsinxA0的图1分类讨论

函数ysin2x、ysin1x的图像与2函数ysinx的图像的关系

归纳总结函数ysin(x)0的图像与函数ysinx的图像的变换规律；定义周期

像与函数ysinx的图像的变换规律；

九、教学过程设计

（一）新课引入[来源:学+科+网]定义振幅

应用举例：归纳总结函数yAsin(x)A0,0的图像与函数ysinx的图像的变换规律

巩固、反馈、总结、反思、作业

情境1．为了便于讨论，把摩天轮画成一个圆，摩天轮的轴心O作为圆心。过圆心作一平面直角坐标系，其x轴与地平面平行，y轴与地平面垂直，摩天轮的近地点为A，如图所示。

O P0

考察摩天轮上吊篮与轮环的某一连接点P0，设摩天轮的半径为R，起始时OP0与Ox的夹角∠BOP0=

（图中为负值），OP0绕O按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分）。经过t分钟后，OP0到达

P R

t+)。这一函数关系反映了点P纵向的运动规律。OP，此时∠P0OP=t+，P的纵坐标为y，则yRsin(

情境2．在物理和工程技术的许多问题中，往往都会遇到遇到形如yAsin(x+)（其中A、、为常数）的函数。例如，物体做简谐振动时位移s与时间t的关系；交流电的电压u与时间t的关系，都可以用这类函数表示。

下面我们来探究函数yAsin(x+)(A＞0,＞0)图像和性质，本节课就先研究yAsin(x)(A＞0,＞0)的图像和性质。

（二）学习新课

引例1在同一坐标系中画出函数y2sinx,y1sinx及ysinx的图像。

2解：列表 描点画图：

观察图像的运动状态。通过比较，发现：

(1)

y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

振幅变换。

(2)

它的值域为[-A, A]

最大值是A, 最小值是-A。

问题：为什么横坐标不变，纵坐标伸长或者缩短为原来的A倍？

[说明]：y＝Asinx与y＝sinx的图像上的点的坐标对比，只是在平面直角坐标系中的y位置不一样，这一变换称为振幅变换。由f（x）到Af（x）的图像关系体会特殊到一般的过程。

引例2在同一坐标系中画出函数ysin2x,ysin解：(五点法)由T＝1x及ysinx的图像。

22，得T＝π 列表：

2

描点画图：

观察图像的运动状态。通过比较，发现：

函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1倍（纵坐标不变）而得到的，实际上我们知道ω的变化影响函数周期，所以这个变换也称为周期变换。 周期的倒数成为频率，即f1。

T1问题：为什么纵坐标不变，横坐标伸长或者缩短为原来的倍？

[说明]：y＝sinwx与y＝sinx的图像上的点的坐标对比，只是在平面直角坐标系中的x位置不一样，这一变换称为周期变换。由f（x）到f（wx）的图像关系体会特殊到一般的过程。

（三）例题分析

例3：作出y1sin2x的简图。

2

解：方法一：“五点法”作图

列表得

y1sin2x2

[说明]：此题由列表法可以及图像变换均可得出yAsinx的图像，其中由ysinx变换得到yAsinx的图像的方法体会一般到具体的过程。

（四）巩固练习

1练习：画出函数y2sinx,xR的简图。

3解：方法一：“五点法”

2321y2sinx33926

2

方法二：图像变换

（五）课堂小结

本节课主要研究了由y＝sinx的图像变换出y＝Asin(ωx)的图像的过程中的变换及变换相互关系，它们的规律可概括如下：

十、作业布置

1.必做题：课本第100页：6.3（1）

2.选做题：（1）利用“五点法”作出函数y=3sin(2x+π/3)的简图；

（2）函数y=3sin(2x+π/3)的图象是由y=sinx如何变换而得到。

十一、教学反思Z|X|X|K]

本节课的内容是沪教版教高一数学第二学期第六章第三部分，是在学生学习了正弦余弦函数的图像的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型的图像，在整个教学过程中贯穿了由特殊到一般、由一般到特殊的思想以及数形结合的思想，同时还力图向学生展示观察，归纳，类比等数学思想方法。通过本节课的学习，可以使学生对已有的知识形成体系，对于进一步探索研究其他数学问题有很好的启发与示范作用。下面我将从三个方面对自己的这节课进行反思评价。

一．自我评价。

本节课通过学生熟悉的生活场景及物理实际问题引入课题，为新课的学习创设情境，拉近数学与现实

的距离，激发了学生的求知欲。

正弦型三角函数yAsinx涉及到了三个参数，在本节课教学中过程中，为了降低学生学习的难度，我设计了探究A、w及两个量都变化的问题，分别从三个方面来研究函数图像的变换：

在教学过程中，我一直以这两个探究为主线，每个探究环节我都举出两个特殊的例子，让学生动手画出三角函数的图像，通过特殊的例子来分别分析了两个参数对于函数图像的影响，这样的处理有效地降低了学生接受新知识的难度，所以在第三个探究中学生才能比较自然地将前两个探究综合起来，得到了探究的结论，这既是本节课的重点，也是本节课的难点。

这节课我利用了图像的运动让学生直观地看出了图像的变换，得出了振幅变换及周期变换的途径。和我的带教师父朱一品老师说课后发现，有一点我并没有讲清楚，就是如何解释及理解图像变换的原因。朱老师问我图像变换原因的的时候，我突然发现本节课的关键点在这里。经过朱老师的点拨，用坐标的数学表示解释了图像变换的原因，比较直观、清晰。这个环节促使我更加想要每节课去旁听师父的课，这点给我的启发是跟着有经验的师父走，会让我少走很多知识讲解的弯路，我更喜欢和师父一起讨论教学了。感谢师父带给我的经验和付出的心血。

另外，学生的动手能力比较差，没有百分百的画出图像，尤其是用“五点法”做w不同的三角函数图像的时候不熟练，以致于时间安排不够合理，不能让所有学生自主发现图像变换途径，这点还是很遗憾的。如果能自主发现规律，相信学生会更喜欢三角函数这部分的内容，更容易接受后面较难的知识。

二．问题反思。

本节课的教学思路是很清晰的，在课件中展现出来运动的趋势是很有利于学习三角函数图像和性质的，也很容易观察到变换规律。但这些对于学生来说，还是缺少了主动探究的，只能看出整数的变换，如果出现小数，是不是还能如此变换呢？所以进一步思考后，我还想尝试现场用几何画板操作一下，或者让学生操作一下，真正意义上看出图像的运动，或许会更好。

三．课堂重建。

针对上面提出的遗憾，我对这节课作出如下几个方面的调整：

1）在上课时间允许的情况下，可以让学生先自己画出探究中每个函数的图像，然后再由老师用几何画板展示。加入这个环节，学生探究起来会显得更直观和主动性。

2）两个探究是本节课的主线，探究的成败直接决定了这节课的成败，我对我的四个探究做了些调整，调整如下：可以让学生在课前画出所要探究的图像，这样课上可以更有效率地进入，也可以增加一下后面的练习时间，更容易达到班级中大部分学生掌握的程度，会有更好的学习效果。