3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

3.1.3．空间向量的数量积（1）

本节教材分析

（1）、三维目标

1．知识与技能：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．

2.过程与方法

掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

3．情感目标

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. （2）教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．

（3）教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．

（4）教学建议：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

新课导入设计

导入一

一、复习引入

1.复***面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积

导入二

在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量。下面我们探讨如何用空间向量

的数量积表示空间两条直线的夹角和空间线段的长度。

教学过程

学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（一）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e

B

A

B

A

C

|AB||AB|cosa,e|ae．|

4．空间向量数量积的性质： （1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（二）例题讲解：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

nglmnmgl

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

2O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|A

C

B

322所以，OA与BC的夹角的余弦值为．

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

例4 如图7所示，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形ABCD折成30°的二面角，求BD.

[分析] 若向量a的起点、终点分别为A、B，则

→|AB|＝|a|＝a·a，即求得两点之间的距离即模的长度．

[解]

如图8所示，设B、D在AC上的射影分别为E、F，

则BE⊥EF，DF⊥EF，

AC＝AB2＋BC2＝5，

AB·BC12BE＝DF＝＝，

AC5922在Rt△ADC中，CE＝AF＝AD－DF＝，

57→→∴EF＝AC－2CE＝.又〈BE，FD〉＝150°，

5→2→→→→→2∴|BD|＝BD·BD＝(BE＋EF＋FD)

→2→2→2→→＝|BE|＋|EF|＋|FD|＋2BE·EF＋

→→→→2EF·FD＋2BE·FD. ＝＝144491441212＋＋＋0＋0＋2××cos150°

25252555337－1443，

25337－1443. 5∴BD＝[点评] 一般求向量的模，将向量先用已知的某些向量表示出来(这些向量要知长度和其间的夹角)，再用公式．

变式练习 如图9，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使直线AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

解：∵∠ACD＝90°，

→→→→∴AC·CD＝0，同理BA·AC＝0. ∵AB与CD成60°角，

→→∴〈BA，CD〉＝60°或120°. →→→→∵BD＝BA＋AC＋CD，

→→→→→→∴BD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC

→→→→＋2BA·CD＋2AC·CD

→→→→→＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD

→→＝3＋2·1·1·cos〈BA，CD〉

→→4

〈BA，CD〉＝60°＝→→.2

〈BA，CD〉＝120°

→∴|BD|＝2或2，即B，D间的距离为2或2. 例5

如图10，正方体ABCD－ABCD中，P为DD的中点，O是底面ABCD的11111中心．求证：BO⊥平面PAC. 1[分析] 本题考查利用a⊥b⇔a·b＝0求证线面垂直，关键是在面PAC中找出两相交→向量与向量B1O垂直．

[证明] 不妨设正方体的棱长为1，

→AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝a·c＝0. 1→→→→→由图形得：PA＝PD＋DA＝－AA1－AD

21→→→＝－b－c，PC＝PD＋DC

21→→1＝－AA1＋AB＝a－c，

22→→

B1O＝B1B＋BO＝－c＋(－a＋b) 11＝－a＋b－c. 22111→→∵PA·B1O＝－b－c·－a＋b－c

2221121112 ＝a·b－b＋b·c＋a·c－b·c＋c，

22442→→PC·B1O＝a－c·－a＋b－c

→→→121212121211112 ＝－a＋a·b－a·c＋a·c－b·c＋c，

22442又∵|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝b·c＝0，

→→→→∴PA·B1O＝0，PC·B1O＝0. →→→→∴PA⊥B1O，PC⊥B1O.∴PA⊥B1O，PC⊥B1O. 又∵PA∩PC＝P，∴B1O⊥面PAC. [点评] 用向量解决立体几何中一些简单问题时，我们要解决好以下几方面的问题：

(1)如何把已知几何体转化为向量表示？

(2)考虑未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示？

(3)如何对已经表示出来的向量进行计算，获得结论？

课后作业：

课本第98页第3、4题

当堂检测：

1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C. 充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么(

)

→→→→A.AE·BC

→→→→B.AE·BC＝AE·CD

→→→→C.AE·BC>AE·CD

→→→→D.AE·BC与AE·CD不能比较大小

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(

) A.7

C.13

→→→4．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为

a，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则→→〈A′B，B′D′〉＝(

)

B.10

D．4

A．30°

C．90°

B．60° D．120°

5．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(

) A．62

C．12

B．6

D．144 2，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________. 26．已知|a|＝22，|b|＝→→→7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则

→→→→(1)AC′·DB′＝________；〈AC′，DB′〉＝________；

→→(2)BD′·AD＝________.

参考答案：

1.[答案]

B [解析]

当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量．．．时，由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B. 2.[答案]

C →→[解析]

易知AE⊥BC，∴AE·BC＝0，

→→→→→AE·CD＝(AB＋BE)·CD

→→→1→→＝AB·(BD－BC)＋BC·CD

21→→→→→→＝|AB|·|BD|·cos120°－|AB|·|BC|cos60°＋|BC|·|CD|cos120°<0. 23.[答案]

C [解析]

|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2

＝|a|2＋6|a||b|cos＋9|b|2，

∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，

∴|a＋3b|2＝13，

∴|a＋3b|＝13. 4.[答案]

D →→[解析]

B′D′＝BD，

∵△A′BD为正三角形，

→→∴〈A′B，BD〉＝120°. 5.答案]

C →→→→[解析]

∵PC＝PA＋AB＋BC，

→→→→→→∴PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. →∴|PC|＝12.

6.[答案]

3π

4a·b2[解析]

cos〈a，b〉＝＝－，

|a|·|b|23π∴〈a，b〉＝. 416.答案]

(1)1，arccos

(2)1 3→→[解析]

(1)AC′·DB′＝(a＋b＋c)·(a－b＋c) ＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，

→→|AC′|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴|AC′|＝3，

→→|DB′|2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴|DB′|＝3，

→→AC′·DB′1→→∴cos〈AC′，DB′〉＝＝，

3→→|AC′|·|DB′|1→→∴〈AC′，DB′〉＝arccos. 3→→(2)BD′·AD＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.