1.1.3 四种命题间的相互关系第二课时教案

1.1.2

四种命题

1．1.3

四种命题间的相互关系

●三维目标

1.知识与技能

理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

●重点、难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：正确区分命题的否定形式及否命题．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

思考一：

(1)对顶角相等；

给出以下四个命题：

(2)相等的两个角是对顶角；

(3)不是对顶角的两个角不相等；

(4)不相等的两个角不是对顶角；

问题：1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？

【提示】

它们的条件和结论恰好互换了．

2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？

【提示】

命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．

定义：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，

那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

思考二：

1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“p”和“q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？

【提示】

逆命题：若q，则p. 否命题：若p，则q. 逆否命题：若q，则p. 2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？

【提示】

互逆、互否、互为逆否．

知识1

四种命题的相互关系

思考三：

1．思考一中四个命题的真假性是怎样的？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？

【提示】

原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．

知识2

1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.

例1

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0. 【思路探究】

(1)原命题的条件与结论分别是什么？

(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？

变式训练：分别写出下列命题的逆命题

、否命题和逆否命题．

(1)负数的平方是正数；

(2)若a＞b，则ac2＞bc2. 例2

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．

(1)菱形的对角线互相垂直；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

变式训练：下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

例3

若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．

变式训练：“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．

方法总结：

1．写出四种命题的方法：

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

2．四种命题的真假关系：

若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断. B．①③

D．①

11．(2013·福州高二检测)已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是2(

)

1A．若a2＋b2＜，则a＋b≠1 21B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜

21C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜

21D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1 22．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的(

) A．逆命题

C．逆否命题

3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．

4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 练习题

一、选择题

1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是(

) A．若p，则綈q

B．若q，则綈p

C．若綈q，则p

D．若綈q，则綈p

B．否命题

D．无关命题

2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A．互逆命题

C．互为逆否命题

B．互否命题

D．以上都不正确

3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为(

) A．3

B．2

C．1

D．0 4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是(

) A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题

B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题

C．“已知a，b，m∈R，若am2

D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题

5．下列命题中，不是真命题的为(

) A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题

B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题

C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题

D．“对顶角相等”的逆命题

二、填空题

6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．

7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．

8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：

①若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解．

②“等腰三角形都相似”的逆命题；

3③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

2④“若a＞1且b＞1，则a＋b＞2”的否命题．

其中真命题的序号是________．

三、解答题

9．设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.