1.1.1 命题优秀教案设计

1.1．1 命题

教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式. 教学重点：命题的改写. 教学难点：命题概念的理解. 教学过程：

【自主探究】

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．

观察教材P2“思考”中的6个语句．

(1)这6个语句都是陈述句吗？

提示：是．

(2)能否判断这6个语句的真假性？

提示：能．

2．知识点： 命题及相关概念

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 陈述句命题分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句

形式： “若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做

命题的结论思考：

(1)“x>5”是命题吗？

提示：不是．

(2)陈述句一定是命题吗？

提示：不一定．

(3)命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？

提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0．

(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？

1

提示：不一定．

(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

提示：是．

[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？

提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．

【解疑合探】

例1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1) (1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；

1x(2)一个整数不是质数就是合数；

(3)3x2－2x>1；

(4)在平面上作一个半径为4的圆；

(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；

(6)2100是一个大数；

(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？

(8)若x∈R，则x2＋2>0. [尝试解答] (1)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(3)当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．

(4)不是陈述句，不是命题．

(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．

(7)不是陈述句，不是命题．

(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．

【规律与方法】

(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若

2

能，就是命题；若不能，就不是命题．

(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．

(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．

变式练习（1）下列语句中是命题的有________．(填序号) ①地球是太阳的一个行星．

②甲型H1N1流感是怎样传播的？

③若x，y都是无理数，则x＋y是无理数．

④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

⑤60x＋9>4. ⑥求证：3是无理数．

解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④. 答案：①③④

（2）．判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)π是有理数； 3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)x2－x＋7>0. 解：(1)“π是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

1227(4)因为x－x＋7＝x－＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．

242例2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3) (1)等边三角形的三个内角相等；

3

(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数；

(3)菱形的对角线互相垂直．

[尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．

(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝ax是增函数．

(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．

【规律与方法】

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的。

变式练习2．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．

(1)当a>b时，有ac2>bc2;

(2)实数的平方是非负实数；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3. 解：(1)若a>b，则ac2>bc2. (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．

(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．

(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3.

例3．判断下列各命题的真假，并说明理由．

(1)若a2>b2，则a>b；

3(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>；

2(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；

(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．

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[尝试解答] (1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．

13(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>. 22(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．

(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝2>1，所以直线与圆相离．

【规律与方法】

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．

变式练习3（1）．下列命题中是真命题的是(

) A．若3∈A，3∈B，则A∩B＝{3} B．若x2＋x－2＝0，则x＝1 1C．若函数f(x)＝x－x，则f(x)有最小值－

42D．若log2x<1，则x<2 答案：C 变式练习3（2）判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

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(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

【质疑再探】还有没有什么疑问，请提出来，我们大家一起解决。

【课堂小结】

1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断；

2．本节课要重点掌握的规律方法；

(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论；

(2)判断命题的真假性；

3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．

【当堂检测】

1．下列语句中是命题的是(

) A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin 0°＝0 C．求x2－2x＋1>0的解集

D．作△ABC∽△EFG

解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．

2．以下语句中：

①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．

3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．

答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x

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＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．

答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真

5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．

(1)乘积为1的两个实数互为倒数；

(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一直线平行的两个平面平行．

解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．

p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．

(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．

(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．

6．下列命题是真命题的是(

) A．所有质数都是奇数

B．若a>b，则a>b

C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立

D．方程x2＋x＋1＝0有实根

解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．

7．下列命题中真命题有(

) ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．

8．下列命题中真命题的个数为(

)

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①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c>b＋c;

④矩形的对角线互相垂直．

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．

9．下列命题：

①y＝x＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0

解析：①为真命题；②③④为假命题．

答案：①

2

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