习题2.3PPT专用教学设计内容

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第六节

双曲线及其性质

考点

双曲线

的方程

双曲线

的性质

高考试题

2017·全国卷Ⅰ·T5·5分

2015·全国卷Ⅰ·T16·5分

2015·全国卷Ⅱ·T15·5分

2017·全国卷Ⅱ·T5·5分

2017·全国卷Ⅲ·T14·5分

考查内容

由双曲线方程求三角形面积

由双曲线方程求三角形面积

求双曲线方程

求双曲线的离心率

由双曲线的渐近线求参数值

核心素养

数形结合

数形结合

数学运算

数学运算

数学运算

双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题热点，其中离心率渐近线是高考考查重点，多以选择题填空题形式出现，一般不会出现在解答题中，命题分析

在解题时要熟练掌握基础知识，以及双曲线方程的求法，灵活应用双曲线的几何性质，2019年高考仍然会考查双曲线的定义、标准方程、几何性质，题型为选择题填空题，分值5分.

1．双曲线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：

(1)在平面内；

(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；

(3)非零常数小于|F1F2|. 2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2－＝1(a＞0，b＞0)

a2b2y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2图形

范围

对称性

性质

顶点

x≤－a或x≥a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点坐标：

A1(－a,0)，

A2(a,0)

顶点坐标：

A1(0，－a)，A2(0，a) 高考资源网版权所有，侵权必究！

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渐近线

离心率

a，b，c

的关系

by＝±x ace＝，e∈(1，＋∞) ac2＝a2＋b2

ay＝±x

b线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

实虚轴

线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长

提醒：

1．辨明三个易误点

(1)双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件，若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．

(2)区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (3)双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．

2．求双曲线标准方程的两种方法

(1)定义法

根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程．

(2)待定系数法

x2y2x2y2①与双曲线2－2＝1共渐近线的可设为2－2＝λ(λ≠0)；

ababbx2y2②若渐近线方程为y＝±x，则可设为2－2＝λ(λ≠0)；

aabx2y2③若过两个已知点，则可设为＋＝1(mn＜0)．

mn3．双曲线几何性质的三个关注点

(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；

(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；

(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(

) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(

) 高考资源网版权所有，侵权必究！

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x2y2(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(

) mnx2y2x2y2xy(4)双曲线方程2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是

2－2＝0，即±＝0.(

) mnmnmn(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(

) x2y2x2y21(6)若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与2－2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则2＋abbae11＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(

) e22答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)√

2．(教材习题改编)双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是(

) A．y＝±x

C．y＝±3x

y2x2解析：选A

由题意知－＝1，y＝±x. 22y2x23．(教材习题改编)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦6416点的距离为(

) A．20

C．12

B．16 D．8 B．y＝±2x

D．y＝±2x

解析：选A

||PF1|－|PF2||＝2a＝16，||PF1|－4|＝16，∴|PF1|＝20，|PF1|＝－12(舍去)．

x2y24．(2016·北京卷)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦ab点为(5，0)，则a＝__________；b＝__________. b解析：由2x＋y＝0得y＝－2x，所以＝2. 又c＝5，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2. a答案：1

2

双曲线的定义及应用

[明技法]

双曲线定义的应用规律

类型

求方程

解焦点

解读

由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程

利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a＜高考资源网版权所有，侵权必究！

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三角形

|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题

注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

[提能力]

x2y2【典例1】

(2016·全国卷Ⅰ)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦m＋n3m－n点间的距离为4，则n的取值范围是(

) A．(－1,3)

C．(0,3)

B．(－1，3) D．(0，3) x2y2解析：选A

∵方程2－2＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m＋n3m－nm2

y2【典例2】

(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上82一点，A(0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

解析：设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为2xy＋＝－366y21.与x－＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝126. 8答案：126 [刷好题]

y21．设双曲线x－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶824，则△PF1F2的面积等于(

) A．103

C．85

B．83 D．165 解析：选C

依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，

因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，

所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，

1所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8×

28262－2＝85. 2．(2018·孝感质检)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△A BC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是__________. 高考资源网版权所有，侵权必究！

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解析：如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.

|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，

x2y2方程为－＝1(x＞3)．

916x2y2答案：－＝1(x＞3) 916

双曲线的标准方程

[明技法]

求双曲线标准方程的一般方法

[提能力]

y2x2【典例】

(1)(2018·东北三校联合模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，3)的双1612曲线的标准方程为(

) y2A．x－＝1

32x2B．y－＝1 122y2x2C．－＝1

22y22D．－x＝1 3x2y2(2)(2016·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近ab线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(

) x22A．－y＝1

4y2B．x－＝1 42高考资源网版权所有，侵权必究！

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3x23y2C．－＝1

2053x23y2D．－＝1 520y2x2解析：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，

1612y2x2设双曲线的标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，

mn31m－n＝1，则解得m＝n＝2. m＋n＝4，y2x2所以双曲线的标准方程为－＝1. 22b1(2)由题意得c＝5，＝，则a＝2，b＝1，

a2x22所以双曲线的方程为－y＝1. 4答案：(1)C

(2)A [刷好题]

1．(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(

) y2A．x－＝1

42

x22B．－y＝1 4x2D．y－＝1 42y22C．－x＝1

4解析：选C

由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲1线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C．

212．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的2标准方程为__________. 1解析：方法一

∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

2∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，

x22∴双曲线的标准方程为－y＝1. 41方法二

∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2，

211∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．

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∴双曲线的焦点在x轴上，

x2y2故可设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

aba＝2，由已知条件可得163a－b＝1，22b1

2a＝4，解得2

b＝1，

x22∴双曲线的标准方程为－y＝1. 4x22答案：－y＝1 4

双曲线的几何性质

[析考情]

双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．

高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题点：

(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；

(2)求双曲线的渐近线方程；

(3)求双曲线的离心率(或范围)．

[提能力]

命题点1：求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长

x2y2x2y2【典例1】

若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(

) 165－k16－k5A．实半轴长相等

C．离心率相等

B．虚半轴长相等

D．焦距相等

解析：选D

由0＜k＜5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由16＋5－k＝16－k＋5，得两双曲线的焦距相等．

命题点2：求双曲线的渐近线方程

x2y2x2y2【典例2】

已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，abab高考资源网版权所有，侵权必究！

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C1与C2的离心率之积为A．x±2y＝0

C．x±2y＝0

3，则C2的渐近线方程为(

) 2B．2x±y＝0 D．2x±y＝0 a2－b2解析：选A

椭圆C1的离心率为，

aa2＋b2双曲线C2的离心率为，

aa2－b2a2＋b23所以·＝，

aa23所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，

41所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±

x，即x±2y＝0. 2命题点3：求双曲线的离心率(或范围) 【典例3】

(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(

) A．5

C．3

B．2

D．2 解析：选D

不妨取点M在第一象限，如图所示，

x2y2设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

ab∴M点的坐标为(2a，3a). 4a23a2∵M点在双曲线上，∴2－2＝1，a＝b，

abc∴c＝2a，e＝＝2.故选D．

a[悟技法]

与双曲线几何性质有关问题的解题策略

(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．

(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．

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(3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．

[刷好题]

31．(2018·麻城一模)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(

) 45A．

355C．或

345B．

4D．3 3解析：选C

由双曲线的渐近线方程为y＝±x，

4b3a3得＝或＝，

a4b4又离心率e＝b2551＋2，所以e＝或e＝. a34x2y22．(2018·西安模拟)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，且abF2为抛物线y2＝24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF1F2的面积为366，则双曲线的方程为(

) x2y2A．－＝1

927x2y2C．－＝1

169x2y2B．－＝1 279x2y2D．－＝1 916解析：选A

由题意，F2(6,0)，设P(m，n)，则

∵△PF1F2的面积为366，

1∴×12×|n|＝366，∴|n|＝66，∴m＝9，

2取P(9,66)，

则2a＝9＋62＋662－9－62＋662＝6，

∴a＝3，b＝33，

x2y2∴双曲线的方程为9－27＝1，故选A．

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