2.3 抛物线（通用）优质课教案推荐

抛物线及其标准方程教学设计

河北徐水综合高级中学 曲艳凤

本堂课以个性化的教学思想为指导，用探究活动为主的教学方法进行设计。在此堂课的教学中借助几何画板首先演示抛物线轨迹生成，再借助轨迹根据定义求解标准方程，既能帮助理解，又能启迪思路，形象地揭示研究对象的性质，也在教学中展示了数学的曲线美。

一、教材分析

（1）教材知识编排角度：《抛物线及其标准方程》是圆锥曲线第二部分内容。关于抛物线图形，初中已经在二次函数部分作了简单说明，但初中所介绍抛物线只是其中一种，并且没有给出抛物线的统一定义，所以对本节的研究，也是对初中内容的一个补充。由于本章对抛物线安排篇幅不多，我想主要是基于学生对于椭圆基本知识和研究方法已熟悉，所以精简介绍. （2）解决问题方法角度：本节对抛物线标准方程的推导，其学***台是学生已经掌握曲线方程的求解方法：定义法。因此，应用曲线方程的求解步骤，类比椭圆标准方程的求解方式探索抛物线的标准方程相对容易。学生是完全可以接受的。

二、教学目标

知识目标:

①理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。

②明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题。

能力目标: 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

情感、态度与价值观:

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，

体会数学的简捷美、和谐美。

三、教学重点与难点

1、教学重点：抛物线的标准方程的四种基本形式及其实际应用

2、教学重点解决的方法策略：列出表格，对比记忆抛物线标准方程的四种基本形式，归纳共同点，辨别并重点记忆不同之处

3、教学难点：四种标准方程的来源及相互之间的变换关系

4、教学难点解决的方法策略：借助曲线方程的求解步骤，引导学生“适当”建系；借助函数坐标轴变换与函数表达式之间的关系理解四种方程的变换关系。

四、学情分析

针对我班学生的基础不高（C班），数学基础差，抽象、逻辑推理能力差、对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化有一定困难等特点，我在教学中注重运用图形培养学生灵活运用三种语言的能力，使原本较为陌生的定义变得容易理解和便于记忆，同时，借助教具、powerpoint等，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个从直观感觉到抽象思维的深刻认识过程。

五、教学方法

启发引导:通过回忆椭圆与双曲线定义引入抛物线，通过实验探索、类比、图表来深入认识、理解抛物线的定义。

实验探索：通过实验、演示，观察得出动点的轨迹是一条抛物线，在用坐标法探求方程。 类比：由椭圆标准方程，类比出抛物线的定义、标准方程。使得学生对于教材更容易接受，进而减轻学生负担。

图表：将抛物线定义、图像、标准方程、焦点坐标、准线方程列表，让学生填充表格，通过表格可以将它们对比，发现异同点，寻找规律，全面掌握所学知识。

六、教学过程设计

【一：亲身体验,感受新知】

教师活动：利用几何画板演示抛物线的形成

教师活动：请同学们观察它是什么曲线？

学生活动：抛物线

教师活动：在这一过程中，动点P点都满足什么条件？

学生活动：思考作答

教师活动：根据刚才的作图过程我们来归纳一下抛物线的定义

学生活动：学生自己归纳

【二：引导探究,获得新知】

观察归纳，形成定义

教师活动：板书（一、定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点,直线

l

叫抛物线的准线）。

（幻灯片展示抛物线的定义，焦点，准线及开口向右的抛物线的图象）

教师活动：同学们观察这个定点F在定直线l上没有？

学生活动：没有。

教师活动：如果直线l经过F点呢？（幻灯片展示直线l过点F的图象）

学生活动：观察，容易得出结论：经过F且与l垂直的直线。

教师活动：从抛物线的定义中我们知道，平面内一个动点M，到定点F与到定直线l（F不在l上）的距离相等，这个动点的轨迹就是抛物线，那么它的轨迹方程又是什么呢？

教师活动：要求轨迹方程就要设点的坐标，点的坐标是在坐标系的前提下才成立的，如何来建立坐标系呢？

学生活动：思考

教师活动：因此，建系是关键，类比椭圆与双曲线的建系的方法，可以看出我们要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的应用到对称关系。

教师活动：提出问题：设焦点F到准线l的距离为p（p>0）,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，才能使所得的方程形式比较简单呢？

学生活动：分组讨论，最后由每个小组推荐一人发言。

教师活动：（幻灯片显示学生可能的建立坐标系的方法）现在坐标系建立出来了，我们就要来标出已知点的坐标和已知直线的方程，然后求出抛物线的轨迹方程，我们一起来求一个，剩下的留给你们去求。

教生活动：一起求出其中的一个抛物线的方程。剩下的方程，学生分组完成。

教师活动：巡视，学生可能会等到三种不同的结果

解法一：以l为y 轴，过点F

垂直于

l

的直线为X轴建立直角坐标系（如下图所示）, (xp)2y2x|FK|＝p,则定点F(p,0), 设动点M(x,y) ，由抛物线定义得：

y2px-p(p0)化简得：

解法二:以定点F为原点,过点F垂直于l的直线为X轴建立直角坐标系(如下图所示),记|FK|=p,则定点F(0,0),l的方程为x=- p，设动点M(x,y) ，由抛物线定义得：22y22pxp2(p0)x2y2|xp|化简得： 解法三：以过F且垂直于

l 的直线为x轴,垂足为K. 以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系(如下图所示), 则定点F(pp,0),l的方程为x=-

，设动点M(x,y) ，由抛物线定22y22px(p0)p2p2义得：(x-)y|x| 化简得： 22教师活动：你选择你一种方程作为标准方程，你会选择哪种？并且说明理由。

学生活动：选择y22pxp0，因为这个方程比较简洁。（可由几个学生补充。）

教师活动：板书（抛物线的标准方程：y22pxp0，开口向右）

F,0，准线 pl:x，为焦点到准线的距离（焦准距）。学生活动：焦点

p2p2【三：深入探究,完善体系】

教师活动：同学们想想，除了这种开口向右的，还有没有其他情况，又有哪些形式呢？

学生活动：还有开口向左，开口向上，开口向下。

教师活动：它们的方程又有怎样的形式呢，焦点坐标和准线方程呢？

教师活动：刚才我们得到了开口向右的，现在我们来看看开口向上的，我们观察得到它的焦p点的位置从x轴的变到了y轴。焦点坐标从 F0,即x与y刚好F,0变成了 2ppx变成了 y，即x与y刚好互换。既然这些x与y互换，准线方程从 22p2都刚好互换，那个方程中的呢？

学生活动：x与y刚好互换。

教师活动：那么这时它的方程变成了什么？

学生活动： x22pyp0教师活动：我们得到了开口向右和开口向上的，其他两种呢？我们从开口向右到开口向左实际上就是把图象从y轴的右边翻折到y轴的左边，它们两个的图象关于y轴对称，我们都知道关于y轴对称的两个点，纵坐标不变横坐标互为相反数，因此开口向左的方程为什么？焦点坐标和准线方程又是什么？

xF,0，准线方程为 学生活动： y22pxp0焦点坐标为 教师活动：从右到左就是把一次项系数变成它的相反数，那么从上到下呢？

学生活动：一次项系数变成相反数

yF0,，准线方程为 教生活动：因此开口向下的方程为 x22pyp0，焦点坐标为 p2p2p2p2

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

y22pxp0

p2,0

xp

2

y22pxp0x22py

p2,0

xp

2p0x22py

p0,2

yp

2p0

p

0,2yp

2教师活动：现在我们得到了四种抛物线的标准方程，我们一起来分析一下这些方程有哪些特pp是什么？

征。四个方程里面都有 . p焦点到准线的距离。

学生活动： 教师活动：请同学们观察四个方程的左边，全部都是几次项

学生活动：二次项

教师活动：右边呢？全部都是几次？

学生活动：全部都是一次项。（幻灯片上展示：方程特点，左边二次式，右边一次式）

教师活动：如何确定抛物线的焦点位置和开口方向呢？请同学们观察第一二两个图，焦点都在那个轴？

学生活动：焦点都在x轴

教师活动：观察一次项都含有x。

教师活动：通过对比我们知道：①一次项决定焦点的位置；②一次项系数的正负决定开口的方向。

【四：应用新知,解决问题】

教师活动：通过刚才分析得到的一些结论，我们来试试下面的题目。

例1 已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程。

变式： 已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程。

22

注意：一定要先把抛物线化为标准形式后再确定焦点、开口及准线

课堂练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 12 22 2(1)y= 20x (2)x=

y (3)2y+5x =0 (4)x +8y =0 2例2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程： F0,2（1）焦点是 （2）抛物线过点 M4,8（3）焦点到准线的距离是2 课堂练习2 1.已知抛物线的准线方程为

x = 1 ，求抛物线的标准方程

2.求过点A（3，2）的抛物线的标准方程

3.抛物线y =8x上与焦点的距离等于10的点的坐标是 _______________ 例3.抛物线应用于求最值问题

课后作业：已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。

2【五：课堂小结,深化认识】

1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式, 每一对焦点和准线对应一种形式; 3.p的几何意义：

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向。

【六：课后作业】

作业：课本63页1、2、3 七、教学反思

本节课采用现代化教学手段,生动形象而直观地完成了教学任务。但美中不足的是留给学生的讨论时间不够充分，以至于对由学生自主探究所得的三类方程的筛选没有做充分的说明，而是简单地用“形式的整齐”对其进行剔除，而在四种标准方程的相互转换关系也没给学生充分的思考时间去理解，如果时间充裕的情况之下，可交由学生去讨论四者之间的转换关系。但总体上说，这堂课还是很成功的,学生掌握了做题方法,能够总结出做题规律，并且达到了触类旁通的目的。