1.1.1 命题特级教师教学实录

命题及四种命题教学设计

高二年级

数学

学科

课题

§1.1

命题及四种命题

第 1 课时

授课类型

新授课

预讲授时间

2018 年9月27 日

了解命题、真命题及假命题的概念，四种命题的概念：明白四种命题的关系，能求一教

学

般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法，正确判断命题的真假，目

初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识．

标

教学重点

逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法．

教学难点

把命题写成若P则q的形式。

§1.1

命题及四种命题

一、命题 例1 例2 例3

二、数学形式

三、四种命题

板

书

设

计

教学反思

教学环节及时间分配

教

师

活

动

（教学内容的呈现及教学方法）

学

生

活

动

（学习活动的设计）

设

计

意

图

情境在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。无论是创设

进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表3分

达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。因此，正

确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基

本素质。

本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互

关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑

的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后

的论证和表述更加准确、清楚和简洁。（在学习过程中我们

应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，而应该通过具

体、生动的实例来使学生体会常用的逻辑用语，学习使用常

用的逻辑用语，掌握常用逻辑用语，并在使用过程中纠正出问题现的逻辑错误。）

引领

5分

问题1:下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的

真假吗？

（1）若直线a//b，则直线a和直线b无公共点；

（2）247

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）若x21，则x1；

（5）两个全等三角形的面积相等；

（6）3能被2

结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

自主

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真 构

建

假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；2分

判断为不正确的命题，为假命题；

上述命题中（1）（3）（5）为真命题，（2）（4）（6）为假命

题；

例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数；

点拨（3）指数函数是增函数吗？

提升

（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；

28分

（5）(2)2；

（6）x15.

.

命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的条

件q叫做命题的结论

例2 指出下列命题中的条件p和结论q：

合作（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；

探究

（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分. 3分

解：（1）条件p：

结论q：

（2）条件p：

结论q：

变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真点拨假：

学生小组讨论，并展示成果，教师板书

教师引导，学生思考并口答，

学生合作探究得出结论

教师板书

说明本章在现实生活中及数学学习中的作用。激发学生探究的兴趣和欲望。

引导学生探究命题概念，使学生更好地掌握命题及真假命题的判定

巩固命题及真假命题的判定

使学生掌握命题形式的改写。培养学生逻辑表诉能力

（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；

（2）负数的立方是负数；

（3）对顶角相等.

问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？

①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；

②如果两个三角形的面积相，那么它们全等；

③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；

④如果两个三角形不相等，那么它们不全等；

结论：命题①④为真，②③为假；①与②、③与④条件和结论互逆，①与③、②与④条件和结论互否；

1.原命题与逆命题的知识

合作即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二探究

个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，

那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原7分

命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.

例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；

它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.

2.

否命题与逆否命题的知识

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个

命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互

否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原

命题的否命题.

例如⑶同位角不相等，两直线不平行；

⑷两直线不平行，同位角不相等.

3. 原命题与逆否命题的知识

即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个

命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互

为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫

做原命题的否命题. 自主

概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶构

建

为否命题；命题⑷为逆否命题. 2分

关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：

⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命

题；

⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命

题是逆否命题. 点拨4.四种命题的形式

提升

8分

例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子ab,cd，

则acbd”.写出逆命题、否命题、逆否命题. 变式：设原命题为“已知a、b是实数，若ab是无理数，

则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命

题.

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真

假：

提升

5分

教师引导，学生思考并口答

学生合作探究得出结论，展示成果教师板书

教师引导，学生思

使学生更好地掌握四种命题形式，并学会改写及判断真假

检测四种命题形式，改写及判断真假

总结评价

3分

布置作业

（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；

（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（3）奇函数的图像关于原点对称.

学生归纳总结本节课所学内容，教师补充说明

教材8页1、2.

考并口答，

学生归纳总结本节课所学内容，教师补充说明

培养学生归纳总结能力

2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假. (1)

等腰三角形两腰的中线相等；

(2)

偶函数的图象关于y轴对称；

(3)

垂直于同一个平面的两个平面平行. 例2.把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假。

（1）两个全等的三角形的三边对应相等；

（2）四边相等的四边形是正方形；

（3）负数的平方是正数；

分析：关键是找出原命题的条件p和结论q. 解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）

逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真）

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）

逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）

（2）原命题可以写成：若一个四边形四边相等，则它是正方形；（假）

逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）

否命题：若一个四边形四边不相等，则它不是正方形；（真）

逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；（假）

(3)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真）

逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）

否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）

逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. （真）

结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）. 备注：“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，其中的p与q，可以是命题，也可以是开语句，例如，命题“若22x+y=0,则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句. 例3．设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc. 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；

否命题：当c>0时，若ab，则acbc.它是真命题；

逆否命题：当c>0时，若acbc，则ab.它是真命题.一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q；

逆命题：若q则p；

否命题：若┐p则┐q；

逆否命题：若┐q则┐p. 五、巩固运用

例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

解：原命题：若a=0,则ab=0是真命题；

逆命题：若ab=0，则a=0是假命题；

否命题：若a0，则ab0”是假命题；

逆否命题：若ab0，则a0”是真命题；

副产品：原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.

六、回顾反思

本节重点研究了四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若p则q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题；两个互为逆否的命题同真或同假；

七、课后练习

1.判断下列命题的真假：

（1）

能被6整除的整数一定能被3整除；

（2）

若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；

（3）

二次函数的图象是一条抛物线；

（4）

两个内角等于45的三角形是等腰直角三角形.

1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）

A．两直线平行，内错角相等 B．两直线不平行，则内错角不相等

C．内错角不相等，则两直线不平行 D．内错角不相等，则两直线平行

2．命题“若ab，则A．若a1”的逆否命题为（ ）

ba1，则ab B．若a≤b，b

则a≤1 bC．若ab，则ba D．若a≤1，b则a≤b

3．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否命题：

；

4．把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假. (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧. 5．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题．

6．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的真假. 八、参考答案：

1．

C 2．

D 3．逆否命题: 若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0；

4．(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题. (2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题. (3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题. (4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题. 5．否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数；逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数

6．分析:此命题从正面判断较为困难,可利用两个互为逆否命题的命题真假一致,转化为判断原命题的逆否命题真假,从而得出原命题的真假.逆否命题“若:x＞2且y＞3，则x+y＞5”，容易判断逆否命题为真，故原命题为真.