3.2.1 几个常用函数的导数ppt课件配套教案内容

3.2.1 几个常用函数的导数

情境一：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）

问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）

问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？

情境二：

1.利用定义求出函数①yc的导数

2.若yc表示速度关于时间的函数，则y0可以如何解释？如何描述物体的运动状态？

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但这种方法在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数

知识点

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0y0表示函数yc图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

yf(xx)f(x)xxx1

因为xxxylim11

所以ylimx0xx0y1表示函数yx图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

练习：在同一直角坐标系中，分别画出函数y2x,y3x,y4x的图象，求出它们的导数。

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么? （2）这三个函数，哪一个增加得最快，哪一个增加的最慢？

（3）函数ykxk0增（减）的快慢与什么有关？

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)21的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)12

x(xx)xxxxy11lim(2)2

x0xx0xxxx1练习

作出函数y的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出其在点（1，1）处的切x所以ylim线方程

5．函数yfxx的导数

xxx

x因为yf(xx)fxxx

=xxxxxxx1xxx

xxx

=所以ylimy11

limx0xx0xxx2x6.推广：若fxxnnQ，则f(x)nxn1

练习

求下列函数的导数

（1）yx3（2）y1

x2（3）y三．例题讲解

3x（4）yx2x

例1．曲线yx3上哪一点的切线与直线y3x1平行？

解：设点P(x0,y0)为所求，则

它的切线斜率为k3，

∵f(x)3x，

∴3x03，x01，

∴P(1,1)或P(1,1)．

例2．证明：曲线xy1上的任何一点P(x0,y0)(x00)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

解：由xy1，得y∴y()221，

x1x1，

x2

∴kf(x0)1，

2x0过点P(x0,y0)的切线方程为

yy01(xx0)，

2x0令x0得y2，

x0令y0得x2x0，

∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积

S122x02是一个常数．

2x0四．课时小结

C0，xn

nxnQ

n1