3.4 生活中的优化问题举例课堂实录

3.4 生活中的优化问题举例

●三维目标

1.知识与技能

通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题．

2．过程与方法

让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法．

3．情感、态度与价值观

形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力．

●重点、难点

重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．

●教学建议 教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点．

课前自主导学：

知识1：导数在实际问题中的应用

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

问题导思

优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？

答：函数的最大、最小值．

知识2：解决优化问题的基本思路

优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

例1.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人们的健康带有一定的危害，为了给消费者带来健康的蔬菜，某农村合作社计划投入240万元，搭建甲、乙两个无公害的蔬菜大棚，每个大棚至少投入80万元。其中甲大棚中西红柿，乙大棚种黄瓜。根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P与投入a（单位：万元）满足P42a6，种黄瓜的年收益Q与投入b（单位：万元）1满足Q4b2,80b120。设甲大棚的投入为x（单位：万元），两个大棚的32,120b160总收益为f(x)（单位：万元）。

（1）当甲大棚的投入为128万元时，求两个大棚的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益最大？

解：（1）甲：128 乙：240-128=112 ∴（万元）

（2）甲：x 乙：240x

∴P42x6,(80x160)

11f(x)421286112288Q4x62,120x160

432,80x120x42x56,120x160∴f(x)

442x26,80x120111'x)420x128

当120x160时，f(2x4又当120x128时，f'(x)0，128x160时，f'(x)0

∴f(x)在x128处取得最大值，为fmax(x)88（万元）

当80x120时，f(x)在[80,120)上单增，∴fmax(x)f(120)16152688

∴x128时，即甲大棚投入128万元，乙大棚投入112万元时，总收益最大。

例2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：

cm)满足关系：C(x)k(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为83x5万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

解：（1）x0时，C(0)f(x)6x20403x5k8k40，

5∴8006x(0x10)3x5

'（2）法一：由（1）知：f(x)62400250x5或x(舍)

(3x5)23又0x5时，f'(x)0，5x10时，f'(x)0

∴f(x)在x5处取得最小值，为fmin(x)f(5)70（万元）

8003x58002(3x5)10800，即x5时，取""

3x5法二：，当且仅当2(3x5)3x580022(3x5)103x570f(x)6x∴隔热层修建5cm时，总费用最小，为70万元。

练习：一边长为a的正方形铁片，四角截去四个边长都为x的小正方形，做成一个无盖方盒，则x等于多少时，方盒的体积V最大？

课堂小结：

1．解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．

2．用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．

(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．

(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．

(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.