习题2.1名师课堂实录

直线与圆锥曲线的位置关系之斜率与角度问题

江门一中 曾统华 20181207 星期五

第四节

高二（9）班

【学习目标】 1. 知识与技能：

LC关系中的斜率与角度问题的切入联想与发散。

2. 过程与方法：由圆性质去类比，由例子去猜想统一性质，用几何画板验证。

3. 情感态度与价值观：培养学生的归纳猜想证明的思维能力，透过现象看本质举一反三的能力，勇于探索创新反思总结的思维品质。

【学习过程】

一、旧知回顾

1．圆和椭圆的变换关系；2.椭圆双曲线抛物线的统一定义；

二、探索求真

探索一：动弦中点，斜积定值

引入1：圆的弦的斜率与其中点和圆心的连线的斜率之积为定值-1. 引入2：圆的切线的斜率与其切点和圆心的连线的斜率之积为定值-1. 引入3：过圆C：x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线l为：x0xy0yr2

x2y2b2类比1：椭圆221的弦的斜率与其中点和椭圆中心的连线的斜率之积为定值2aba

x2y2b2类比2：双曲线221的弦的斜率与其中点和中心的连线的斜率之积为定值2aba

y2x2a2类比3：椭圆221的切线的斜率与其切点和椭圆中心的连线的斜率之积为定值2abb

y2x2a2类比4：双曲线221的切线的斜率与其切点和中心的连线的斜率之积为定值2abb

类比5：

类比6：

说明：圆，椭圆，双曲线都有对称中心，抛物线没有对称中心没有类似性质。

【例1】．（2011山东文数22）

x2y2斜率为正数k的且不过原点的直线l 交椭圆C:1

于A、B两点，弦AB的中点为E，1

322射线OE交椭圆 C于G点，交直线x=-3于点D（-3，m）,求mk的最小值。

练习1：（2010新课标理数12）

已知P（3,0）是双曲线E的右焦点，过P的直线l与E交于A、B两点，AB的中点

为N（-12,-15），则E的标准方程为（

）

x2y2A.136x2y2B.145x2y2C.163x2y2D.1

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探索二：对称端点，斜积定值

1热身1：点P(x,y) ，A(6,0),B(6,0),KPAKPB求P的轨迹方程。3

1y2x2热身2：点ABP是221上任意三点， AB过原点，KPAKPB求离心率。

3ab

引入1：圆上动点对直径端点的连线斜率之积为定值-1；

x2y2b2猜想1：椭圆221上的动点P，弦AB过原点，

则KPAKPB2a

ab

x2y2b2猜想2：双曲线221的弦的斜率与其中点和中心的连线的斜率之积为定值2aba

猜想3：

猜想4：

y2x2【例2】（2012湖北理数21）过原点的斜率为正数k的直线l 交椭圆C:1,于PQ两2m1

点，P点在第一象限，P点在y轴上的射影点为N，直线AN交椭圆C于另一个点H，是否存在m使得对任意正数k都有PQPH ,若存在，求m的值，若不存在请说明理由。

探索三：倾角互补，连线定角

【例3】已知（Px0,y0）是抛物线y2=2px(p>0)上一个定点，直线PA、PB的倾斜角互补，分别交抛物线于两点A、B，求证直线AB斜率为定值。

猜想1：过椭圆上一定点的倾角互补的两直线与椭圆的另两个交点的连线的倾角为定值。

猜想2：过双曲线上一定点的倾角互补的两直线与双曲线的另两个交点的连线的倾角为定值。

探索四：定点之弦，张角相等

x2y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B【例4】（2018全国1卷19）设椭圆C:2两点，点M的坐标为2,0.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.

结论1：椭圆的准线与长轴的交点与相应的焦点弦端点连线所成角被长轴平分。

结论2：双曲线的准线与实轴的交点与相应的焦点弦端点连线所成角被实轴平分。

结论3：抛物线的准线与对称轴的交点与焦点弦端点连线所成角被对称轴平分。

ax2y2拓展1：过椭圆221的长轴上任一点N(t,0)的弦AB端点与对应点G(,0)的tab2连线所成角被长轴平分，即AGNBGN

。

三、当堂检测

1.(2016全国丙高考)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(节选)

2x2. (2015课标全国Ⅰ高考)在直角坐标系xOy中,曲线C: 4y与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点. (节选) (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?

四、分层作业: x2y21.（2014四川理数20）椭圆C：1的左焦点F，T是直线x=-3上任一点，

过F做TF62TF的垂线交椭圆于点P、Q。（1）证OT平分线段PQ；（2）当最小时，求点T坐标。

PQx2y22（2011江苏理数19）过原点的斜率为正数k的直线l 交椭圆E:1于PA两点，P点2

4在第一象限，P点在X轴上的射影点为C，直线AC交椭圆E于另一个点B，求证：对任意正数k都有PAPB ,。

3x2y23. 过椭圆1上点P(1,)的倾角互补的两直线PA、PB 分别与抛物线交于AB，求直线243AB的斜率。

4.分层选做（探索五：直周之角，斜过定点）

2抛物线yx上点P（1,1）AB是抛物线上另外两点，PAPB0,PQPAPB.(1)求Q点的轨迹方程；（2）证直线AB过定点。

五、反思感悟：