3.4 生活中的优化问题举例教学创新设计

3.4生活中的优化问题举例（教学设计）（1）（2）（2课时）

教学目标：

知识与技能目标：

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

过程与方法目标：

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养。

情感、态度与价值观目标：

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．

教学过程：

一．创设情景、新课引入

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．师生互动，新课讲解

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

例1（课本P101例1）．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版2心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

x2512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S(x)<0；当x(16,)时，S(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

1 ''

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

例2（课本P102例2）．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

24

yfr0.2r30.8r23r320.8r3r,0

6令fr0.8(r22r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

例3（课本P102例3）．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数

2

Rr。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特m2r数可达。所以，磁盘总存储量

nRr2r2r(Rr)

×f(r)mmnn （1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

最多可达（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

f(r)2R2r

mn令f(r)0，解得rR

2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2mn4例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G表示每千米平w，其中，w表示汽油消耗量（单位：L），s表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，s求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题．

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小均的汽油消耗量，那么G时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系gfv．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

wwg

解：因为

Gt

svstgg这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直vv线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f90，约为

L．

3

例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

x

_xx _60_x_60解法一：设箱底边长为xcm，则箱高h260xcm，得箱子容积

260x2x3V(x)xh (0x60)．

23x2V(x)60x (0x60)

23x2令

V(x)60x＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 2并求得V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

60-2x3（后面同解法一，略）

V(x)(602x)x(0x30)．由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数V(x)xh26060-2x2x60-2x60-2xx60xx、V(x)(602x)2x在各自22360的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2S=2πRh+2πR

由V=πRh，得h2V，则

R2V22V2S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR

2RR

4

令

s(R)2V+4πR=0 2R解得，R=3VV，从而h==2R2V4VV=3=23

V2(3)2即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

S2R2 提示：S=2Rh+2Rh=

2R211S2R2R2=(S2R2)RSRR3 V(R)=222RV'(R))=0S6R2

6R22Rh2R2h2R．

例7．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p251q．求8产量q为何值时，利润L最大？

分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入Rqpq25q25qq，

1818222利润LRC25qq(1004q)q21q100(0q100)

18181Lq21

41令L0，即q210，求得唯一的极值点q84

4答：产量为84时，利润L最大

例8．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：由梯形面积公式，得S=13

(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

23∴AD=123323h2b)h(hb)h

①

h+b, ∴S=(2333h22h,AB=CD.∴l=h×2+b

cos3033②

∵CD=由①得b=

43S3SS3hh3h

h,代入②,∴l=3h3hh35

l′=3SSSS=0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0. 2444h333243S∴h=时，l取最小值，此时b=S

433例9．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y

＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x

＞0，y

＞0，

则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），

在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜

x

＜2．

设矩形的面积为S，则S

＝2 x（4－x2），0＜

x

＜2．

由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x

＝x

＝23，易知

34是S在（0，2）上的极值点，

3283和．

33即是最大值点，

所以这种矩形中面积最大者的边长为【点评】

应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

例10：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x，故有

2150x4500×30＋×40，y′＝－2＋20，

x2x9000令y′＝0，得x

＝15，且y″＝3，f″(15)＞0，

xy

＝所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故

当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为150＝10（次）．

15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

例11：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD

＝x2402．

y

＝500（50－x）＋700x21600

＝25000－500 x

＋700x21600，

6

12y′＝－500＋700 ·

(x

＋1600)2· 2 x

21＝－500＋700xx16002，

令y′＝0，解得x

＝506．

3506千米时，总费用最省．

3答：水厂距甲距离为50－【点评】

当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．

三、课堂小结，巩固反思：

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

四．布置作业

A组：

1、（课本P104习题3.4 A组

NO：1）

2、（课本P104习题3.4 A组

NO：2）

3、（课本P104习题3.4 A组

NO：3）

4、（课本P104习题3.4 A组

NO：4）

5、（课本P104习题3.4 A组

NO：5）

6、（课本P104习题3.4 A组

NO：6）

7、某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为且生产x吨的成本为R=50000+200x元。问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入－成本）。

解析：每月生产x吨时的利润为p2420012x5，f(x)(2420012x)x(50000200x)5

1x324000x50000(x0)5

3f(x)x2240000,x2200（舍去）

5由，解得x1200因f(x)在[0,)内只有一个点x200使f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为：1f(200)2003240002005000031500005（元）

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元。

7

8、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解析：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则

∵

BD=40，AC=50－x

∴

BCBD2CD2x2402

22又设总的水管费用为y元，依题意有：y3a(5ax)5ax40(0x50)

y3a5axx2402，令y0，解得x30

在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30（km）处取得最小值，此时AC=50－x=20（km）

∴

供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省。

9、一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇334km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？

分析：如图，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，即可确定登岸的位置。

解析：∵

AB9,AC334,BCAC2AB215

T11x(15x)281(0x15)54

设CDx，由A到C所需时间为T，则115x54(15x)281

令T0，解得x=3，在x=3附近，T由负到正，因此在x=3处取得极小值。

T又答：在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最省。

10．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个

角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方

形的边长为多少时，盒子容积最大？

T(0)3342187,T(15),T(3)4420，比较可知T（3）最小。

解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为82x，宽为52x

V(82x)(52x)x4x26x40x

32V'12x252x40,令V'0,得x1,或x

1010x3，3（舍去）

V极大值V(1)18，在定义域内仅有一个极大值，

8

V最大值18

11．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，x(0，0.048)，则当x为多少时，银行可获得最大收益？

解：由题意，存款量f(x)kx2，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即x0.012时，y1.44；由1.44k(0·.012)得k10000，那么f(x)10000x2，

银行应支付的利息g(x)x·f(x)10000x3，

设银行可获收益为y，则y480x210000x3，

由于，y960x30000x2，则y0，即960x30000x20，得x0或x0.032．

0.032)时，y0，此时，函数y480x210000x3递增；

因为，x(0，x(0.032，0.048)时，y0，此时，函数y480x210000x3递减；

2，故当x0.032时，y有最大值，其值约为0.164亿．

12．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）．

k解：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，

ab其中k(k0)为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，有4b2ab2a60(a0，b0)得b30a(0a30)．

2akkk(2a)．

ab30aa230aa22a当y0时，a6或a10（舍去）．

于是y∵本题只有一个极值点，

当a6时，b3，

即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

13．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

14.8解：设该容器底面矩形的短边长为xcm，则另一边长为(x0.5)m，此容器的高为y

x(x0.5)3.22x，4于是，此容器的容积为：V(x)x(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x，其中0x1.6，

9

4（舍去），

151.6)内只有一个极值点，且x(0，1)时，V(x)0，函数V(x)递增；

因为，V(x)在(0，x(11.6)，时，V(x)0，函数V(x)递减；

即V(x)6x24.4x1.60，得x11，x2所以，当x1时，函数V(x)有最大值V(1)1(10.5)(3.221)1.8m3，

即当高为1.2m时，长方体容器的空积最大，最大容积为1.8m3．

x），涨价后商品卖出的个数减少bx成，税率10是新价的a成，这里a，b均为常数，且a10，用A表示过去定价，B表示卖出的个数．

（1）设售货款扣除税款后，剩余y元，求y关于x的函数解析式；

（2）要使y最大，求x的值．

14．由于某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为xxbxabx解：（1）定价上涨x成，即为A1时，卖出的个数为B1，纳税a成后，剩余yAB111．

1010101010ab21bxx1，

（2）上式整理得yAB1101001010ab1b当yAB1x，

10101050令y0，则xymax5(1b)时，

ba(1b)2AB1·．

104bB组：

1、（课本P104习题3.4 B组

NO：1）

2、（课本P104习题3.4 B组

NO：2）

10