3.2.2 直线的两点式方程优质课教案推荐

3．2.2 直线的两点式方程

一.教学分析

本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式的讨论及变形．直线方程的两点式可由点斜式导出．若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程．由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式．

二.三维目标

1．让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程．培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础．

2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

三.重点难点

教学重点：直线方程两点式和截距式．

教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式方程的讨论及变形．

四.课时安排：

1课时

五.教学过程

（一）导入新课

思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：

(1)已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3,5)，求直线l的方程．

(2)已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，求通过这两点的直线方程．

思路2.要学生求直线的方程，题目如下：

①A(8，－1)，B(－2,4)；

②A(6，－4)，B(－1,2)；

③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)．

(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程) 这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以给这种直线方程取一个名字呢？

（二）推进新课

1.新知探究

提出问题

①已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，求通过这两点的直线方程．

②若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有x1＝x2或y1＝y2，此时过这两点的直线方程是什么？

③两点式公式运用时应注意什么？

④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程．

⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

活动：①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程．师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a．利用直线的斜率公式求出斜率k；

b．利用点斜式写出直线的方程．

∵x1≠x2，k＝y2－y1x2－x1，

∴直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．∴l的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．①

xx当y1≠y2时，方程①可以写成.②

yyxx112121yy由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式．

(三)应用示例

例1 求出下列直线的截距式方程：

(1)横截距是3，纵截距是5；

(2)横截距是10，纵截距是－7；

(3)横截距是－4，纵截距是－8. 答案：(1)5x＋3y－15＝0；(2)7x－10y－70＝0；(3)2x＋y＋8＝0. 变式训练1

已知Rt△ABC的两直角边AC＝3，BC＝4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程．

答案：4x－3y＋12＝0. 例2 已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3，－3)、C(0,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．

分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式．

解：AB所在直线的方程，由两点式，得

y－0－3－0＝x5353x＋8y＋15＝0. BC所在直线的方程，由斜截式，得y＝－53x＋2，即5x＋3y－6＝0.

AC所在直线的方程，由截距式，得x－5＋y2＝1，即2x－5y＋10＝0. 变式训练2. 已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．

分析：由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ，MN，x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ，MN应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出．

解：因为|AB|＝4，所以|OA|＝|OB|＝42＝22. 因此A、B、C、D的坐标分别为(22，0)、(0,22)、(－22，0)、(0，－22)．

所以AB所在直线的方程是x22＋y22＝1，即x＋y－22＝0. BC所在直线的方程是x－22＋y22＝1，即x－y＋22＝0. CD所在直线的方程是x－22＋y－22＝1，即x＋y＋22＝0. DA所在直线的方程是x22＋y－22＝1，即x－y－22＝0. 对称轴方程分别为x±y＝0，x＝0，y＝0.

例3. 已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)、B(－2，－1)、C(4,3)，M是BC边上的中点．(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长；(3)求AB边的高所在直线方程．

解：(1)由两点式写方程，得y－5－1－5＝x＋1－2＋1，即6x－y＋11＝0. (2)设M的坐标为(x0，y0)，则由中点坐标公式，得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，

故M(1,1)，AM1＋121－52＝25. (3)因为直线AB的斜率为kAB＝5＋1－1＋2＝6，设AB边上的高所在直线的斜率为k，

则有k×kAB＝k×6＝－1，所以k＝－16. 所以AB边高所在直线方程为y－3＝－16(x－4)，即x＋6y－22＝0. 变式训练3.

求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程．

解：设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，则由题意知，有12ab＝2，

∴ab＝4. 解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4.则直线方程是x4＋y1＝1或x1＋y4＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 例4. 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．

解：当截距为0时，设y＝kx，又过点A(1,2)，则得k＝2，即y＝2x. 当截距不为0时，设xa＋ya＝1或xa＋y－a＝1，过点A(1,2)，

则得a＝3，或a＝－1，即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 这样的直线有3条：2x－y＝0，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0. 变式训练4.

过点A(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x－5y－10＝0,8x－5y＋20＝0. （四）课堂小结

通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程．理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

（五）作业

课本习题3.2 A组9、10. （六）设计感想

计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以提高教学效果，激发学生兴趣，达到事半功倍的效果．介绍如下：在直角坐标系中，给出两个已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，但A点、B点的坐标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A、B两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A、B两点不断任意变化时，直线和直线方程也随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣)，并伴随悦耳的音乐声，只有当x1＝x2或y1＝y2时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁)，伴以悦耳的提示音，且变幻的画面，需用鼠标点击才能继续运转．对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制．通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果．