3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计思路

3.1.3 空间向量的数量积运算

一、教学目标

（一）核心素养

通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．

（二）学习目标

1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．

2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．

3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．

（三）学习重点

1．空间向量的数量积运算法则及运算律．

2．空间向量的模长公式和夹角公式．

3．空间向量数量积在立体几何中的应用．

（四）学习难点

1．利用空间向量的数量积求模与夹角．

2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空：

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b．

如果a,b2，那么向量a，b互相垂直，记作ab．

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa,b叫做a，b的的数量积，记作ab．

零向量与任何向量数量积为0．

特别地，aa|a||a|cosa,a|a|2．

1 / 15

（2）写一写：

和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？

①数乘结合律：(a)b(ab)，

②交换律：abba，

③分配率：a(bc)abac．

和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？

①若e为单位向量，则ae|a|cosa,e；

②若a，b为非零向量，则abab0；

2③|a|aaa；

④若a，b为非零向量，则cosa,bab|a||b|；

⑤|ab||a||b|（当且仅当a，b共线时等号成立）．

2．预习自测

（1）已知向量a，b满足：|a|3，|b|2，ab6，则a,b（

）

A．0

B．3

C．2

D．

【知识点】空间向量的夹角公式．

【解题过程】∵cosra,rrbarb6|ra||rb|231，∴a,b．

【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．

【答案】D．

（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（A．60

B．90

C．75

D．105

【知识点】空间向量的垂直．

【解题过程】设|BB1|m，则|AB|2m，∴AB1C1B(ABBB1)(C1CCB)

ABCBBB1C1C2m2mcos60mmcos180m2m20，

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）

故AB1与C1B所成角的大小为90．

【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．

【答案】B．

（3）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA15，BAD90，

BAA1DAA160，则|AC1|

．

【知识点】空间向量的模长．

【解题过程】|AC221|AC1(ABADAA21)

AB2AD2AA212ABAD2ABAA12ADAA1

4232520245122351285，故|AC1|85．

【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．

【答案】85．

（4）已知线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，且ABa，ACc，则C，D间的距离为

．

【知识点】空间向量的模长．

【解题过程】|CD|2CD2(CAABBD)2

CA2AB2BD22CAAB2CABD2ABBD

a2b2c2000a2b2c2，

故C，D间的距离为a2b2c2．

【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算．

【答案】a2b2c2．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）空间向量线性运算法则和运算律；

（2）共线向量定理的两种表达形式；

（3）共面向量定理的两种表达形式．

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BDb，

2．问题探究

探究一

由平面向量类比空间向量的数量积运算★

●活动①

类比提炼概念

rr前面我们说过，两个非零向量a，b一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答）

uurruuurr已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b．如果a,b2，那么向量a，b互相垂直，记作ab．

也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．

【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．

●活动②

巩固理解，深入探究

同样的，那数量积的定义呢？（抢答）

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa,b叫做a，b的的数量积（inner

product），rrrrrrrrr2记作ab．零向量与任何向量数量积为0．特别地，aa=|a||a|cosa,a|a|．

【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．

●活动③

深入探究，发现规律

和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答）

①数乘结合律：(a)b(ab)，

②交换律：abba，

③分配率：a(bc)abac．

【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．

探究二

探究空间向量数量积的性质★▲

●活动①

类比探究，研究性质

和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答）

rrrrr①若e为单位向量，则ae=|a|cosa,e；（解释：|e|1，转化为投影）

rrrrrr②若a，b为非零向量，则abab0；（解释：a,b，cos0）

22

4 / 15

rr③|a|aaa；（解释：a,b0，cos01）

2④若a，b为非零向量，则cosa,bab|a||b|；（解释：定义的变形式）

rrrr⑤|ab||a||b|（当且仅当a，b共线时等号成立）．（解释：a,b[0,]，

cosa,b[1,1]）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点．

●活动②

巩固理解，深入探究

以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）

rrrr2第②条，abab0，可用于证明空间向量垂直；第③条，|a|a，是空间向量的模长公式；第④条，cosa,bab|a||b|，是空间向量的夹角公式．

【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．

探究三

探究空间向量数量积的具体应用★▲

●活动①

归纳梳理、理解提升

通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）

模长、垂直、夹角．它们都是向量a，b的二次运算，是非线性的．

【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识．

●活动②

互动交流、初步实践

例1

设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：

rrrrrrr2rr2r①(ab)c(ca)b0；②|a|aa；③abba；

④(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2．正确的是（

）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；a，b不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．

5 / 15

【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．

【答案】D．

同类训练

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则以下运算结果为a2的是（

）

A．2BACB

B．2ADBD

C．2FGCA

D．2EFCB

【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】由已知可得AD,BD，

3所以2ADBD2|AD||BD|cosAD,BD2a2cosa2．

3【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．

【答案】B．

【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练．

活动③

巩固基础、检查反馈

例2

已知空间四边形OABC中，OB=OC，且AOBAOC（

）

A．0

B．，则cosOA,BC的值为3123

C．

D．

222【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】设OAa，OBb，OCc，由已知得a,ba,c，且|b||c|．

3uuruuurrrrrrrr1所以OABCa(cb)acab|a||c|cos|a||b|cos|a|(|c||b|)0，

332所以cosOA,BC|OABC||OA||BC|0．

【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．

6 / 15

【答案】A．

同类训练

已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于（

）

A．5

B．5

C．6

D．6

【知识点】空间向量的模长公式．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵|a||b||c|1，a,bb,cc,a60，∴abbcca2221，

2∴|ab2c|2ab4c2ab4bc4ca1142∴|ab2c|5．

111445，

222【思路点拨】先计算ab，bc，ca，再利用模长公式展开计算．

【答案】A．

【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固．

●活动④

强化提升、灵活应用

例3

已知PO，PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l且lOA，求证：lPA．

【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】取直线l的方向向量a，同时取向量PA，OA，

∵lOA，∴aOA0．∵PO，且l，∴lPO，∴aPO0．

又∵aPAa(POOA)aPOaOA0，∴lPA．

【思路点拨】将向量PA用PO，OA来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若lPA，则lOA．

【答案】见解题过程．

同类训练

已知m，n是平面内的两条相交直线，如果lm，ln，求证：l．

【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．

【数学思想】数形结合思想．

7 / 15

【解题过程】在内任作一直线g，分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．

∵m与n相交，∴向量m，n不平行，由向量共面的充要条件知，

存在唯一的有序实数对(x,y)，使gxmyn．

∵lm0，ln0，∴lgxlmyln0，即lg．

∴l垂直于内的任意直线，∴l．

【思路点拨】将内的任意直线的方向向量g表示为m，n的线性组合，从而利用数量积证明lg0，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．

【答案】见解题过程．

【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．

3. 课堂总结

知识梳理

（1）已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a,b．如果a,b，那么向量a，b互相垂直，记作ab．

2（2）已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa,b叫做a，b的的数量积（inner

product），记作ab．零向量与任何向量数量积为0．特别地，aa|a||a|cosa,a|a|2．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：(a)b(ab)，②交换律：abba，③分配率：a(bc)abac．

（3）空间向量的数量积的性质有：①若e为单位向量，则ae|a|cosa,e；

②若a，b为非零向量，则abab0；③|a|aaa；④若a，b为非零向量，则cosa,b

重难点归纳

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2ab|a||b|；⑤|ab||a||b|（当且仅当a，b共线时等号成立）．

（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．

（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．下列命题中正确的是（

）

A．(ab)ab

B．|ab||a||b|

C．(ab)ca(bc)

D．若a(bc)，则abac0

【知识点】向量数量积的概念和运算．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】对于A项，(ab)abcosa,bab，故A错误；对于C项，数量222222222积不满足结合律，故C错误；对于D项，有a(bc)0，所以abac，但不一定等于0，故D错误．B项是数量积的性质．

【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．

【答案】B．

2．已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b（

）

A．1

B．0

C．1

D．2

【知识点】向量数量积的运算．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵|a||b|1，a,b60，

2∴(2ab)b2abb2|a||b|cos60|b|20．

【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．

【答案】B．

3．在三棱锥ABCD中，ABACAD2，BAD90，BAC60，则ABCD（

）

A．2

B．2

C．23

D．23

【知识点】空间向量数量积的运算．

9 / 15

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】ABCDAB(ADAC)ABADABAC022cos602．

【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.

【答案】A．

4．在三棱锥DABC中，已知(DBDC2DA)(ABAC)0，则ABC是（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

D．等边三角形

C．等腰直角三角形

【知识点】空间向量数量积的运算．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵(DBDC2DA)(ABAC)(DBDADCDA)(ABAC)

22(ABAC)(ABAC)ABAC0，∴|AB|2|AC|2，即ABAC．

【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．

【答案】B．

5．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO11ABAC，则AB与AC的夹角

22为

．

【知识点】空间向量的夹角．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】∵AO11ABAC，∴点O是BC中点，故BC为直径，根据圆的性质，22有BAC90，即AB,AC90．

【思路点拨】利用几何性质，点O是BC中点，BAC是直角所对的圆周角．

【答案】90．

6．已知a，b，c中每两个向量的夹角都是3，且|a|4，|b|6，|c|2，试求出|abc|的值．

【知识点】向量模长公式．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵|abc|abc2ab2bc2ca

10 / 15

2222

426222466224100，∴|abc|10．

【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．

【答案】10．

能力型

师生共研

7．已知|a|32，|b|4，mab，nab，a,b则

．

【知识点】向量垂直与数量积的关系．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵mn，∴mn0，即(ab)(ab)0，则ab(1)ab0，

223，若mn，

4即(32)242(1)432cos

330，∴460，．

42【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．

【答案】3．

28．直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，

BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为（

）

A．1

10

B．2

5

C．30

10

D．2

2【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】设CAa．CBb，CC1c，|a||b||c|1，∴abbcca0，

1111223∵BMabc，ANac，∴BMANac，

22244又∵|BM|65BMAN，|AN|，∴cosBMAN22|BM||AN|34652230．

10

【思路点拨】将BM与AN用a．b，c表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．

【答案】C．

11 / 15

探究型

多维突破

9．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若侧面对角线AB1BC1，求证：A1CAB1．

【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】设BAa，BCb，BB1c，|a||b|m，|c|n，

∵AB1BC1，且AB1ABBB1ac，BC1bc，

∴AB1BC1(ac)(bc)abcn2212m0，∴m22n2，

222∴AB1A1C(ac)(A1AABBC)(ac)(cab)acab

m2n2

12m0，∴A1CAB1．

2【思路点拨】将AB1，BC1，A1C用a，b，c表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化．

【答案】见解题过程．

10．三棱柱ABC

A1B1C1中，AA12AB2AC2，A1ABA1ACBAC60，在平行四边形BB1C1C内是否存在一点O，使得A1O平面BB1C1C？若存在，试确定O点的位置；若不存在，说明理由．

【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】设ABa，ACb，AA1c，假设存在点O，使得A1O平面BB1C1C，

不妨设BOmBB1nBC，则BOmcn(ba)nanbmc，

而AOABBO(1n)anbmc，∴A1OAOAA1(1n)anb(m1)c，

要使A1O平面BB1C1C，只需A1OBB1，A1OBC，即A1Oc0，A1O(ba)0，

∴[(1n)anb(m1)c]c0，[(1n)anb(m1)c](ba)0，

解得m3131，n，BOBB1BC，∴存在点O，使得A1O平面BB1C1C．

4242

12 / 15

【思路点拨】在平面BB1C1C内将BO表示为mBB1nBC，利用垂直条件列式解出m，n的值，从而确定点O的位置．

【答案】见解题过程．

自助餐

1．下列命题中，

①|a|aa；②m(a)b(m)ab；③a(bc)(bc)a；④abba．

其中真命题的个数为（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

22【知识点】向量数量积的概念和运算．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】①②③正确，④不正确，因为a与b的方向不一定相同，故不一定相等．

【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．

【答案】C．

2．已知向量a，b满足|a|2，|b|2，且a与2ba互相垂直，则a,b

．

【知识点】向量数量积的运算，夹角公式．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵a与2ba互相垂直，∴a(2ba)0，即2aba0，∴ab2，

ab|a||b|2，故a,b45．

22∴cosa,b

【思路点拨】先求出ab，再利用向量夹角公式．

【答案】45．

3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足ABAC0，ACAD0，ABAD0，则BCD（

）

A．是钝角三角形

B．是锐角三角形

C．是直角三角形

D．无形状不确定

【知识点】数量积定义的应用．

【数学思想】转化思想

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【解题过程】∵BCBD(ACAB)(ADAB)ACADACABABADAB

22AB0，∴cosBC,BDBCBD|BC||BD|0，故CBD为锐角，同理BCD与BDC均为锐角．

【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定．

【答案】B．

4．已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为（

）

A．30

B．60

C．90

D．45

【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】∵ABACCDDB，∴ABCD(ACCDDB)CDCD1，

ABCD|AB||CD|1，即AB,CD60．

22故cosAB,CD

【思路点拨】先求出ABCD，再利用向量夹角公式．

【答案】B．

5．在一个直二面角l的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于l的线段，且AB4，AC6，BD8，则CD的长为

．

【知识点】向量模长的计算．

【数学思想】转化思想．

【解题过程】∵CDCAABBD，∴CD(CAABBD)2

2222CAABBD2CAAB2ABBD2BDCA426282116，∴|CD|229．

【思路点拨】将CD拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式．

【答案】229．

6．在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则B1C与A1P所成角的大小为

．

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【知识点】向量夹角公式的运用．

【数学思想】数形结合思想．

【解题过程】∵B1CA1P(AA1AD)(ADB1CA1P|B1C||A1P|21AB)AD1，由题意得PA1B1C2，2则cosB1C,A1P

1，故B1C,A1P60．

2【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出B1CA1P．

【答案】60．

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