3.1.1 空间向量及其加减运算教案设计范例

3.1空间向量及其运算

第1课时空间向量及其加减运算

1．问题导入

根据以下提纲，预习教材P84～P85的内容，回答下列问题．

(1)观察教材P84－图3.1－1中的三个力F1、F2、F3以及图3.1－2中的三个向量OA、OB、OC，它们和以前所学的向量有什么不同？

提示：这三个向量不在同一个平面内．

(2)在平面向量中，我们是如何计算两个向量的和与差的？

对于空间向量是否仍然适用？

提示：三角形法则和平行四边形法则，仍然适用于空间向量．

2．概念引入: (1)空间向量的有关概念

①定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．

②长度：向量的大小叫做向量的长度或模．

字母表示法：用字母表示，若向量a的起③表示法：

点是A，终点是B，则向量a也可以记作

AB，其模记为|a|或|AB|.(2)几类特殊向量

特殊向量

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

定义

长度为0的向量

模为1的向量

与a长度相等而方向相反

的向量称为a的相反向量

方向相同且模相等的向量

几何表示法：空间向量用有向线段表示.

表示法

0 |a|＝1或|AB|＝1 －a

a＝b或AB＝CD

(3)空间向量的加法和减法运算

1

空

间

向

量

的

运

算

加法

OB＝OA＋AB

＝a＋b

减法

CA＝OA－OC＝a－b

加法运算律

概念思考：

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

(1)空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？

提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．

(2)零向量没有方向吗？

提示：任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．

(3)在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？

提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有单位向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．

“空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？

老师指津：正确．

零向量有方向吗？

老师指津：零向量的方向是任意的．

例题讲解

1．下列说法正确的有：________. ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC＝AC11；

④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等．

[尝试解答]

①假命题．当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同．

②假命题．向量相等必须满足模相等、方向相同两个条件．

2

③真命题．AC与AC方向相同且模相等．

11④真命题．由向量相等的定义可知．

⑤假命题．单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．

[答案]

③④

类题·通法

(1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；

(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．

课堂训练：

1．下列说法中正确的是(

) A．单位向量都相等

B．任一向量与它的相反向量不相等

C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反

D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 解析：选D

单位向量的模都等于1，但方向不一定相同

，可以是任意方向，故A错误；0的相反向量还是0，它们是相等的，故B错误；当|a|＝|b|时，a与b的方向是任意的，不一定相同或相反，故C错误；当a与b互为相反向量时，|b|＝|－a|＝|a|，故D正确. 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，

化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

(1)

AB＋BC－C1C；

(2)

AB－DA－A1A；(3)

CC1－CB－BA. [尝试解答]

(1)

AB＋BC－C1C＝AB＋BC＋C1C＝AC＋CC1＝AC1(如图)．

3

(2)

AB－DA－A1A＝AA1＋(AB＋AD)＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋＝AC1

(如图)．

AC11(3)

CC1－CB－BA＝AB＋BC＋CC1＝AC1

(如图)．

错误!

在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有(

) ①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；

③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1. A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：选D

①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；

②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；

③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；

④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. 课堂小结：

1．本节课的重点是空间向量的有关概念及空间向量的加减运算．

2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．

3．本节课的易错点是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误．如DA－DB，误写成AB，应为BA.

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