习题2.3优秀完整教案

双曲线及其标准方程

教学目的: (1)了解双曲线的定义

(2)能利用定义求双曲线的标准方程

教学重点：了解双曲线的定义

教学难点：双曲线标准方程的推导和求解

教学方法：启发式与讲授式

教学过程：

双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，记为2c. 注意：①平面内

②常数记为2a，则动点满足的条件：MF1MF22a

③0<2a<2c即：0ac

问题探讨

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是什么呢？

（1）

常数小于F1F2且大于0时，点的轨迹是双曲线. （2）

常数大于F1F2时，点的轨迹是不存在的. （3）

常数等于F1F2时，点的轨迹是两条射线（如右图）. (4) 常数等于0时，点的轨迹是线段F1F2的中垂线

F1

F1

F2

F2

1

双曲线的标准方程

1.

标准方程的推导

（1）建系设点：（类比椭圆）

以直线F1F2为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴，建立如图示平面直角坐标系. 设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c，则焦点F1、F2的坐标分别为(c,0)、(c,0)

（2）写出点集：PMMF1MF22a

（3）列出方程：

(xc)2y2(xc)2y22a

（4）化简方程：(xc)2y2(xc)2y22a

222移项平方整理得：

a(xc)yacx平方整理得：

222(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)x2y2两边同除以a(ca)得：2221

aca令c2a2b2（b0）代入上式得：

x2y221（其中a0,b0）（标准方程）

2ab2.

两种标准方程的比较

2

x2y2y2x21

（a0,b0） 221（a0,b0）

a2b2ab思考一：双曲线的标准方程具有哪些共同特征？

简洁美、对称美、和谐美

思考二：双曲线的标准方程中的三个参数a、b、c的关系怎样？

a0，b0，c>0,c2a2b2. 思考三：如何由标准方程判断双曲线焦点的位置？

x2项与y2项的系数，哪一个为正，焦点就在哪一个轴上. 典型例题

例题

已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y221（a0,b0）

2ab因为2a6,2c10，所以a3,c5，b216

x2y2因此，双曲线的标准方程为1

916变式1：已知双曲线的焦点为F1(0,-5),F2(0,5)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

y2x2Key:

1

916变式2：已知双曲线的焦点为F1(0,-5),F2(0,5)，且双曲线过点(43,6)，求双曲线的标准方程.

3

Key:

y29x2161

课内提升：

求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点在x轴上，a4,b3

Key:

x2y21691

（2）焦点在x轴上，经过点(2,3),(153,2)

Key:

x2y231

（3）焦点为(0,6),(0,6)，且经过点(2,5)

Key:

y2x220161

课堂小结：

1.双曲线的定义

平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 2.双曲线的标准方程

焦点在轴上

x2y2xa2b21a0,b0焦点在y2y轴上

x2a2b21a0,b0布置作业：

课后作业：习题2.2 第2题

4 小于F1F2）（