2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课一等奖教案

平面与平面之间的位置关系

[学习目标]

1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.

知识点一

直线与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

定义

有无数个公共点

有且只有一个公共点

直线与平面平行

2.直线与平面的位置关系的分类

(1)按公共点个数分类

直线和平面相交——有且只有一个公共点有无公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行图形语言

符号语言

a⊂α

a∩α＝A

没有公共点

a∥α

(2)按直线是否在平面内分类

直线在平面内——所有点在平面内直线与平面相交直线在平面外直线与平面平行

思考

“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？

答

不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二

两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平面β相交

1 图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

α∩β＝l 有一条公共直线

思考

分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

答

这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.

题型一

直线与平面的位置关系

例1

下列命题中，正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0

B.2

C.1

D.3 答案

C

解析

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，

AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.

跟踪训练1

以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 答案

A 解析

如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误. 题型二

平面与平面的位置关系

例2

以下四个命题中，正确的命题有(

)

2

①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A.③④

B.②③④

C.②④

D.①④

答案

A 解析

当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.

跟踪训练2

两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点. 其中正确的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.

分类讨论思想

例3

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状. 分析

决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论. 解

由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：

②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：

3

③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A.一条直线不相交

C.无数条直线不相交

B.两条直线不相交

D.任意一条直线不相交

2.下列命题中，正确的命题是(

) A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α

B.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行

C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点

D.若a⊄α，则a与α没有公共点

3.下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(

) A.都平行

B.都相交

C.在两个平面内

D.至少与其中一个平面平行

5.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________.

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