3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案内容

3.1.3 空间向量的数量积运算

学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．空间向量的夹角

(1)夹角的定义

图3­1­15

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)夹角的范围

空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝π时，两向量垂直，记作a⊥b. 22．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

(2)数量积的运算律：

数乘向量与数量积的结合律

交换律

分配律

(3)空间两向量的数量积的性质：

垂直

共线

若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：则a·b＝－|a|·|b| (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) a·b＝b·a

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

向量数量积的性质

a· a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2

模

|a|＝a·a

|a·b|≤|a|·|b| 夹角

θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b

|a||b|思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？

1

(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？

[提示]

(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0

(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．

[基础自测] 1．思考辨析

→→(1)在△ABC中，〈AB，BC〉＝∠B．(

) →→(2)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB与A′C′的夹角为45°.(

) (3)0·a＝0.(

) (4)若a·b<0，则〈a，b〉为钝角．(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

→→→→2．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则〈A′B，B′D′〉等于(

) A．30° B．60°

C．90°

D．120°

→→→→D

[△B′D′C是等边三角形，〈A′B，B′D′〉＝〈D′C，B′D′〉＝120°.]

3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 【导学号：46342138】

2a·b－31π

[cos〈a，b〉＝＝＝－. 3|a||b|3×222所以〈a，b〉＝π.] 3[合

作

探

究·攻

重

难]

→

空间向量的数量积运算

(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(

) A．1 B．2

C．3

D．4 (2)如图3­1­16所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：

图3­1­16

2

→→(1)EF·BA；

→→(2)EF·BD；

→→(3)EF·DC；

→→(4)AB·CD. [解析]

(1)由题意知，p·q＝0，p＝q＝1 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p－2q＋p·q＝1. [答案]

A →→1→→(2)EF·BA＝BD·BA

21→→→→＝|BD||BA|cos〈BD，BA〉

211＝cos 60°＝. 24→→1→→1→21(2)EF·BD＝BD·BD＝|BD|＝. 2221→→11→1→→(3)EF·DC＝BD·DC＝－DB·DC＝－×cos 60°＝－. 2224→→→→→(4)AB·CD＝AB·(AD－AC) →→→→＝AB·AD－AB·AC

→→→→→→→→＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉＝cos 60°－cos 60°＝0. [规律方法]

在几何体中求空间向量的数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. [跟踪训练] 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD→→的中点，则AE·AF＝________. 【导学号：46342139】

12→→→1→1→a

[AE·AF＝AB＋BC·AD

2241→→1→→1212＝AB·AD＋BC·AD＝acos 60°＝a.] 24243 2222

(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC→→→→的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________. 14→→→→1→→

[OG＝OA＋AG＝OA＋(AB＋AC) 33→1→→→→＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)] 31→1→1→＝OB＋OC＋OA

333→→→→1→1→1→→→→∴OG·(OA＋OB＋OC)＝OB＋OC＋OA·(OA＋OB＋OC) 3331→21→21→2＝OB＋OC＋OA

33312112142＝×2＋×3＋×1＝.] 3333

利用数量积证明空间的垂直关系

已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．

[解] 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，

→→→又设OA＝a，OB＝b，OC＝c，

则|a|＝|b|＝|c|. →1→→又OG＝(OM＋ON) 211→1→→＝OA＋(OB＋OC)

2221→＝(a＋b＋c)，BC＝c－b. 4→→1∴OG·BC＝(a＋b＋c)·(c－b) 4122＝(a·c－a·b＋b·c－b＋c－b·c) 4

4

12222＝(|a|·cos θ－|a|·cos θ－|a|＋|a|)＝0. 4→→∴OG⊥BC，即OG⊥BC．

[规律方法]

用向量法证明垂直关系的步骤

(1)把几何问题转化为向量问题．

(2)用已知向量表示所证向量．

(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题．

[跟踪训练] 2．如图3­1­17，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：

图3­1­17

(1)AO⊥CD′；

(2)AC′⊥平面B′CD′.

→→→→1→→[证明]

(1)因为AO＝AD＋DO＝AD＋(DD′＋DC)，

2→→→因为CD′＝DD′－DC，

→→所以AO·CD′

1→1→→→→→→→→→→→→＝(DD′＋DC＋2AD)·(DD′－DC)＝(DD′·DD′－DD′·DC＋DC·DD′－DC·DC＋221→2→2→→→→→→2AD·DD′－2AD·DC)＝(|DD′|－|DC|)＝0，所以AO⊥CD′，故AO⊥CD′.

2→→→→→→→(2)因为AC′·B′C＝(AB＋BC＋CC′)·(B′B＋BC) →→→→→→→→→→→→＝AB·B′B＋AB·BC＋BC·B′B＋BC·BC＋CC′·B′B＋CC′·BC，

→→→→可知AB·B′B＝0，AB·BC＝0，

→BC·B′B＝0，BC·BC＝|BC|2，

CC′·B′B＝－|CC′|2，CC′·BC＝0，

→→→→→→→→→

5

→→→2→2所以AC′·B′C＝|BC|－|CC′|＝0，

→→所以AC′⊥B′C，所以AC′⊥B′C．

同理可证，AC′⊥B′D′.

又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.

利用数量积求夹角

如图3­1­18，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值. 【导学号：46342140】

图3­1­18

→→[思路探究]

求异面直线OA与BC所成的角，首先来求OA与BC的夹角，但要注意异面直π线所成角的范围是0，，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．

2→→→→→→→→→→→→→→[解] ∵BC＝AC－AB，∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝|OA|·|AC|·cos〈OA，AC〉－|OA→→→|·|AB|·cos〈OA，AB〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162. →→OA·BC24－1623－22→→∴cos〈OA，BC〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的→→8×55|OA|·|BC|3－22余弦值为. 5[规律方法]

利用向量数量积求夹角问题的思路

1．求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．

2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：

①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；

6 a·b求cos|a||b|

②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；

④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．

[跟踪训练] 3.如图3­1­19，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．

图3­1­19

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[解] (1)证明：设→CA＝a，→CB＝b，CC→′＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴→CE＝b＋12c，A→′D＝－c＋112b－2a. ∴→CE·A→′D＝－12122c＋2b＝0，

∴→CE⊥A→′D，即CE⊥A′D．

(2)∵AC→′＝－a＋c，∴|AC→′|＝2|a|，|→CE|＝52|a|，

∵AC→′·→CE＝(－a＋c)·1b＋2c1212＝2c＝2|a|，

1∴cos〈AC→′，→2|a|2CE〉＝＝102·5210. 2|a|∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为1010.

7

利用数量积求距离

[探究问题] →→1．异面直线AB，CD所成的角为60°，则〈AB，CD〉的值是多少？

→→提示：〈AB，CD〉＝60°或120°

2．如图3­1­20，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．

图3­1­20

→→→→→2→→→2→2→2→2→提示：∵AD＝AB＋BC＋CD，∴|AD|＝(AB＋BC＋CD)＝|AB|＋|BC|＋|CD|＋2AB·BC→→→＋2AB·CD＋2BC·CD＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，

→∴|AD|＝22，即A，D两点间的距离为22.

如图3­1­21所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．

图3­1­21

→2得到|BD|的值，注意得B，D间→→→→[思路探究]

BD＝BA＋AC＋CD→→

→→的距离对〈BA，CD〉的讨论→→→→[解] ∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理可得AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA，→2222CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|＝|BA|＋|AC|＋|CD|＋2BA·AC→→→→→→→→→→→→→→→→→→＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．

→→→2→→∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA，CD〉＝120°→2时，|BD|＝2，此时B，D间的距离为2. [规律方法]

1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．

2．用数量积求两点间距离的步骤：

(1)用向量表示此距离；

8

(2)用其他向量表示此向量；

(3)用公式a·a＝|a|，求|a|；

(4)|a|即为所求距离．

[跟踪训练] 4.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝2OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

图3­1­22

→→→1→1→→[解] EF＝EA＋AF＝OA＋(AB＋AC) 221→1→→→→＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)] 221→1→1→＝－OA＋OB＋OC，

22211→21→21→21→11→→11→→所以EF＝OA＋OB＋OC2＋2×－×OA·OB＋2×－×OA·OC＋2××444222222→→OB·OC＝2. →∴|EF|＝2，即E，F间的距离为2. [当

堂

达

标·固

双

基] 1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(

) A．－6

C．3 B

[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，

|e1|＝|e2|＝1，

∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，

∴2k－12＝0，∴k＝6.] 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：

→→→2→2①(AA1＋AD＋AB)＝3AB；

→→→②A1C·(A1B1－A1A)＝0；

B．6 D．－3

9

→→③AD1与A1B的夹角为60°.

其中真命题的个数为(

) 【导学号：46342141】

A．1 B．2

C．3

D．0 →→→2→2→2→2→2B

[对于①，(AA1＋AD＋AB)＝AA1＋AD＋AB＝3AB，故①正确；

→→→→→对于②，A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0，故②正确．

→→对于③，〈AD1，A1B〉＝120°，故③错．] π→→3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为(

) 3121A． B． C．－

D．0 222→→→→→→→→→→→→→D

[OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB1→→1→→|cos∠AOB＝|OA||OC|－|OA||OB|＝0，

22→→→→∴OA⊥BC，∴cos〈OA，BC〉＝0.] →→→→→→4．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________. →→→→→→→→→→→→→0 [原式＝AB·CD＋BC·AD＋CA·(AD－AB)＝AB·(CD－CA)＋AD·(BC＋CA) →→→→＝AB·AD＋AD·BA＝0.] 5．如图3­1­23，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N→→→＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝C．

图3­1­23

→(1)试用a，b，c表示向量MN；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长. 【导学号：46342142】

→→→→[解] (1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N

1→→1→11＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a) 3333

10

111＝a＋b＋C．

333(2)∵(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2a·b＋2b·c＋2a·c

11＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，

22∴|a＋b＋c|＝5，

15→∴|MN|＝|a＋b＋c|＝，

22223即MN＝53. 311