3.2.1 几个常用函数的导数教学实录

3.2.1几个常用函数导数（教案）

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：

能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

教学过程：

检查预习情况：见学案

目标展示：

见学案

合作探究：

探究任务一：函数yf(x)c的导数. 问题：如何求函数yf(x)c的导数

新知：y0表示函数yc图象上每一点处的切线斜率为

. 若yc表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

即一直处于静止状态.

试试：

求函数yf(x)x的导数

反思：y1表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为

. 若yx表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

典型例题

1．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0函数

导数

yc

y0

y0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

导数

yx

y1

若yx表示路程关于时间的函y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)12

x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

y5．函数y

1

xy1

2x[来源: ]x的导数

6推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1

反思总结

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 当堂检测

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为的点为（

）

41111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

.

板书设计

略

作业

略

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（教案）

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重难点：

：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学过程：

检查预习情况：见学案

目标展示：

见学案

合作探究：

复习1：常见函数的导数公式：

（1）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

ysinx

y'cosx

ycosx

y'sinx

y'axlna(a0)

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xyf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

f'(x)（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．

（1）yx与y2

（2）y3与ylog3x

x2x

2.（1）导数的运算法则

导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)3．(g(x)0)

2g(x)g(x)

'推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 是加号, 商法则中间是减号. 前不导后导, 但积法则中间（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx32x3

（2）yxsinx；

（3）y(2x5x1)e；

（4）y

【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

2xx；

x4典型例题

例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价.假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05tln1.05

所以p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为5284c(x)(80x100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

100x（1）90%；

（2）98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()100x(100x)2'52840(100x)5284(1)

22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变2(10090)（1）

因为c(90)'化率是52.84元/吨．

（2）

因为c(98)'52841321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变(10090)2化率是1321元/吨．

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

反思总结

1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.

当堂检测

1. 函数yx1的导数是（

）

x1111A．12

B．1

C．12

D．1

xxxx

2. 函数ysinx(cosx1)的导数是（

）

A．cos2xcosx

B．cos2xsinx

C．cos2xcosx

D．cos2xcosx

3. ycosxx的导数是（

）

A．sinxx2

B．sinx

C．xsinxcosxx2

D．xcosxcosxx2[来源: ]

4. 函数f(x)138x2x2，且f(x0)4，

则x0=

5.曲线ysinxx在点M(,0)处的切线方程为

板书设计

略

作业

略