1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学内容分析

学案5：空间几何体的表面积和体积

学习目标

1.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式.

2.通过对空间几何体的表面积与体积的计算，进一步理解简单几何体的结构特征

知识梳理

1、侧面积与全面积：

把柱、锥、台体的侧面沿着他们的一条侧棱（或母线）剪开后展开在一个平面内，

展开图的面积是它们的侧面积，侧面积与底面积的和称为全面积或表积. 2、圆柱、圆锥。圆台的侧面展开图及侧面积公式：

S圆柱侧2rl

S圆锥侧rl

S圆台侧=(rr')l

3、空间几何体的表面积和体积公式：

名称

几何体

表面积

体

积

柱体

S表面积=S侧+2S底

（棱柱和圆柱）

椎体

S表面积=S侧+S底

（棱锥和圆锥）

台体

S表面积=S侧+S上+S下

（棱台和圆台）

球

4、球的截面：

VS底h

1VS底h

3S表面积=（S+S下+SS下）h上上13S表面积=4R2

4VR3

3过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆；不过球心的平面截球所得

O1A

的截面也是一个圆，称为球的小圆；球的小圆圆心与球心的连接的线段与小圆面垂直，

若该线段的长为d，小圆半径为r，球的半径为R，则三者之间的关系为R2d2r2. 如图：圆O是球的大圆，圆O1是球的小圆；

OO1d,O1Ar,OAR，OO1A直角三角形.

典型讲析

高考题型一：空间几何体的表面积与体积

【例1】1、一个长方体的长为4，宽为3，高为5，则长方体的表面积为______，体积为______.

2、(2015山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在

的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A、223 B、423 C、22D、42

【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为22，斜边上的高为2，所得旋

142,，故选转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为(2)22233B.

3、（2014年全国2文）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，

A1B1C1ADBC

D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为（ ）

A．3 B．3 C．1 D．3

22【解析】选C.因为B1C1∥BD,所以BD∥面AB1C1,点B和D到面AB1C1 11的距离相等,所以VDAB1C1=VBAB1C1=VCABB1=××2×3×3=1.故选C. 324、（2013年新课标2）已知正四棱锥OABCD的体积为32，底面边长为3，

2则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_______.24

【方法小结1】求几何体的表面积和体积，要紧扣公式中的基本量，注意量与量之间的转化；当几何体的不是正棱柱、正棱锥和正棱台时，求表面积要注意时，要注意判断侧面的形状，再求每一个侧面的面积，然后再相加. 高考题型二：由三视图求空间几何体的表面积与体积

【例2】1、一个几何体的三视图如图1所示，则这个几何体的表面积是（ ）

A．(1243) B．20 C．(2043) D．

28

2、（2015陕西）一个几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．3 B．4 C．24 D ．34

【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的1表面积为121222234，故答案选D

2

【变式1】（2015全国新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）

组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图3所示，若该几何

体的表面积为1620，则r( ) A、1 B、2 C、4 D、8

图1 图2 图3 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是

半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球

的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为

14r2r2rr22r2r=5r24r2=16 + 20，

2解得r=2，故选B.

【例3】1、（2015浙江）某几何体的三视图如图4所示（单位：cm），则该

几何体的体积是（ ）

A．8cm3 B．12cm3 C．32340cm D．cm3

33【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个

底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为

132V23222cm3.故选C. 33

2、（2015重庆）某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为（ ）

11375A、2 B、 C、 D、

3632

图4 图5

【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为122121

1613，故选B. 6853【变式2】1、一个空间几何体的三视图如图6所示，该几何体的体积为12则正视图中的x的值为（ ）

，

A．5 B．3 C．4 D．2

2、（2015新课标2）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图7, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

1111A. B. C. D.

87651【解析】截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的, 61所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.5

3、（2015湖南）某工作的三视图如图8所示，现将该工作通过切削，加工成

一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面

内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）

24(21)38(21)388A、 B、 C、 D、 927【解析】由题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有x2h,h22xx2h(2x)2(22x

12

12、

图6 图8 图9 【方法小结2】利用几何体的三视图求其表面积或者体积问题时，关键时会将三视图还原出原几何体的形状，再紧扣面积、体积公式.还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体，注意图中的实线和虚线实际是原几何体中的可视线和被遮挡线.

方法小结

1、解决给三视图求几何体的表面积或者体积问题的思路：

（1）由三视图还原直观图及由三视图中的数据得到原几何体的相关数据；

（2）求空间几何体的表面积一般是求出各面面积后相加．

（3）求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用割补法，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．

2、与球有关的组合问题，一种是内切，一种是外接．球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题转化为平面问题；球与旋转体组合通常作它们的轴截面解题．球的小圆圆心与球心的连接的线段与小圆面垂直，若该线段的长为d，小圆半径为r，球的半径为R，则三者之间的关系为R2d2r2; 巩固训练

1、（2014福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形

旋转一周所得圆柱的侧面积等于（

）

A、2 B、 C、2 D、1

2、（2012课标）平面截球o的球面所得圆的半径为1,球心o到平面的距离为2, 则此球的体积（

）

A、6

B、43

C、46 D．63 4【解析】球的半径为r12(2)23,，则球的体积为V(3)343，3故选B.

3、（2015北京）某四棱锥的三视图如图10所示，

该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．2

【解析】四棱锥的直观图如图所示：

由三视图可知，SC平面CD，S是四棱锥最长的棱，

SASC2AC2SC2AB2BC23，故选C.

4、（2015福建）某几何体的三视图如图11所示，则该几何体的表面积等于（

）

A．822

B．1122

C．1422

D．15

【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2

2，直角腰长为1，

的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，1斜腰为2．底面积为233，侧面积为2+2+4+22=8+22，

2所以该几何体的表面积为1122，故选B 5、（2015天津）一个几何体的三视图如图12所示（单位：m）,则该几何体的

体积为 m3

【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱

18π3组合而成,所以该几何体的体积为2π1π2(m)

33

图10 图11 图12 图13

6、（2014安徽卷）一个多面体的三视图如图13所示，则该多面体的体积是(

) 2347A． B． C．6 D．7

63【解析】由三视图可知，该多面体的直观图是正方体在左

下角和右下角分别挖去一个三棱锥，且两三棱锥全等, 123如图，则多面体的体积为V2222111,故选A. 331112

7、(2014湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是

我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也. 又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积

V的近似公式V么, 近似公式VA.22

722Lh相当于将圆锥体积公式中的π近似取为

(

) 7525157355 C. D. 501138

12Lh.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那36 B.【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，由题意得

121825L2r,r2h(2r)2h,2，即的近似值为，故选B. 375378