习题4.1教案教学设计导入设计

圆的标准方程教案jiaoxuesh

教学目标

(1)在理解推导过程的基础上，掌握圆的标准方程的形式特点，理解方程中各个字母的含义，能合理应用平面几何中圆的有关性质，结合方程解决圆的有关问题．

(2)理解掌握圆的切线的求法．包括已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线等．

教学重点和难点

重点：圆的标准方程的理解、应用；圆的切线方程．(已知切点求切线；从圆外一点引切线；已知切线斜率求切线)．

难

点：从圆外一点引切线，求切线方程，已知切线斜率求切线．

教学过程设计

(一)导入新课，教师讲授．

同学们，前面我们研究了直线(特殊的曲线)的方程及其有关问题，今天我们研究圆及与圆有关的问题．

什么是“圆”．想想初中我们学过的圆的定义．

“平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆”．

定点就是圆心，定长就是半径．

根据圆的定义，我们来求圆心是c(a,b)，半径是r的圆的方程．(启发引导学生推导)．

设 M(x,y)是圆上任意一点，圆心坐标为(a,b)，半径为r．

则│CM│=r,

两边平方． (x-a)2+(y-b)2=r2,

我们得到圆的标准方程，

这就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．

如果圆的圆心在原点．O(0,0)．即a=0．b=0．

这时圆的方程为

．

下面我们用大家学过的向量知识再来推导一下圆的方程．

设

M(x,y)是圆上任意一点，过圆心C(a,b)，作x轴的平行线与圆交于A、B两点，则A点坐标为(a-r,b)，B点坐标为(a+r,b)，

=(x-(a-r),y-b)、=(x-(a+r),y-b)，

M为圆上一点，AM⊥BM，·=0．

[x-(a-r)][x-(a+r)]+(y-b)2=0,

整理得．(x-a)2+(y-b)2=r2．

例1．求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程．

解：已知圆心C(1，3)，现在来求圆的半径r，因圆心到切线的距离等于半径，

例2

图7-37是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度．

[师生共同分析思路]

如图，先确定有关各点的坐标，A(-10,0)、B(10,0)、P(0,4)，再找出圆拱所在圆的方程，设这圆的圆心为(0,b)，半径为r，则圆的方程为x2+(y-b)2=r2，由，A、B、P这些已知点，选A、P或B、P代入圆的方程，可以求出b和r，这样，这个圆的方程就为已知．P2点为圆上一点，满足圆的方程，P2的坐标为(-2,y2)，把x=-2代入圆的方程，求出y2，∴A2P2的长度为y2．

(学生阅读例2)

(二)学生课堂练习

1、课本练习题1．(1)x+y=9;(2)(x-3)+(y-4)=5;

(3)(x-8)2+(y+3)2=25．

2、课本练习题2．x2+y2=196．

2222

(三)教师讲授，师生研究

下面我们来研究圆的切线问题：

(1)已知切点坐标，求过这切点的切线方程．

例1

已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程．

[分析]切线是直线，已知切线过切点，因此应从点斜式考虑，连接圆心O与切点M，切线l⊥OM，OM的斜率可求出，则切线的斜率l也可求出，由点斜式可得到切线的方程．

解：

设切线l的斜率为K，切线l：y-y0=K(x-x0),

∴切线l的方程是

这个公式很重要，要熟记其特征与各个字母的含义．

(2)已知切线的斜率，求切线的方程．

们通过判别式可以解决这个问题．

Δ=(12b)2-4×13×9(b2-13)=0, 4b2-13(b2-13)=0,

即两条切线为：2x+3y-13=0或2x+3y+13=0．

(3)过圆外一已知点引圆的切线，求切线的方程．

例3 已知圆的方程为x2+y2=13，P(-4，7)是圆外一点，求过P点与圆相切的切线方程．

[解法一]求出切点．

设切点的坐标为(x0,y0)，

则切线方程为x0x+y0y=13．

又P(-4，7)点在切线上，

(-4)x0+7y0=13．

代入切线方程，得两条切线，2x+3y-13=0或18x+y+65=0．

[解法二]求出斜率．

设切线的方程为：y-7=K(x-4)

即kx－y＋4k＋7=0．

根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，求出k，

代入点斜式，得两条切线为2x＋3y－13=0或18x＋y＋65=0．

(四)学生课堂再练习：

(五)小结．圆的切线的求法．

(1)已知切点求切线，把切点(x0，y0)坐标代入公式x0x＋y0y=r2即得到切线方程．但这种代法对同学们来讲，目前只适用于圆心在原点的圆．

(2)已知斜率求切线，可设切线的斜截式y=kx＋b，代入圆的方程，由△=0，求出截距b．这种求法适用于圆心在原点的圆，计算量较小．

(3)过圆外一点作圆的切线，把切线高为点斜式，根据圆心到切线的距离等于半径这一基本性质，确定斜率，得到切线．这一求法较有普遍性，同学们要牢牢掌握，圆心不在原点时，用起来方便．

(六)作业．

习题7．7 1、2、3、4