1.1.3 四种命题间的相互关系教案设计范例

四种命题间的相互关系

同心县同心中学 周学明

一、学情分析：

四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．

二、教学目标：

（1）知识目标：

理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：

让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：

通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

三、教学重点：四种命题之间的关系。

四、教学难点：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

五、教学过程设计：

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1、回顾

交换原命题的条件和结论，所得的命题是________ ，同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________ ，交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________。 原命题,逆命题,否命题,逆否命题

2、四种命题形式: 原命题: 若 p, 则 q 逆命题: 若 q, 则 p 否命题: 若┐p, 则┐q 逆否命题: 若┐q, 则┐p 3、四种命题之间的相互关系

4、原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

(1)到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上. 原命题 (真) 逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等. 逆命题 (真) 否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上. 否命题 (真)

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逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等. 逆否命题 (真) (2)两个三角形全等,则它们的面积相等. 原命题 (真) 逆命题:两个三角形的面积相等,则它们全等. 逆命题 (假) 否命题:两个三角形不全等,则它们的面积不相等. 否命题 (假) 逆否命题:两个三角形的面积不相等,则它们不全等. 逆否命题 (真) (3)相等的角是对顶角. 原命题 (假) 逆命题: 对顶角相等. 逆命题 (真) 否命题: 不相等的角不是对顶角. 否命题 (真) 逆否命题: 不是对顶角就不相等. 逆否命题 (假) (4)凡质数都是奇数. 原命题 (假) 逆命题: 凡奇数都是质数. 逆命题 (假) 否命题: 不是质数就不是奇数. 否命题 (假) 逆否命题: 不是奇数就不是质数. 逆否命题 (假) 原命题与逆命题未必同真假. 原命题与否命题未必同真假. 原命题与逆否命题一定同真假. 原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假. 5、几条结论: 即：四种命题的真假,有且只有下面四种情况: 原命题

真

逆命题

真

否命题

真

3 逆否命题

真

真

假

假

6、练习：

假

真

假

假

真

假

真

假

假

1）

原命题：若a=0，则ab=0 逆命题：若ab=0 ，则a=0 2) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2

逆命题：若ac2>bc2，则a>b 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2

逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b 反证法

知识要点2 ☆用反证法证明命题的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. ☆理论根据：原命题与其逆否命题的等价性. 7、反证法

☆反证法的使用范围：

（1）直接证明困难的命题； （2）唯一性命题；

（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性命题。

其中：关键在第二步，如何导出矛盾。

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☆导出矛盾有三种可能：

（1）与原命题的条件矛盾；

（2）与公理、定理等矛盾；

（3）前后自相矛盾。

例1.证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中，弦AB、CD相交于P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分

例2.证明:“若a、b、c为奇数,则方程ax2bxc0无等根.”.

例3.证明:若p2q22,则pq≤2. 练习1：若a2能被2整除，a是整数，

求证：a也能被2整除. 证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，

故可令a=2m+1(m为整数), 由此得

a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数，

这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除. 练习2：已知函数y=f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立，证明a+b≥0 8、课堂小结：

(1)四种命题形式：若p则q.若q则p.若¬p则¬q.若¬q则¬p. (2)四种命题间的相互关系及其真假性的关系. (3)反证法.

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