习题3.2教学活动设计方案

教学总体思路

本节让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式(包含斜截式)、两点式(包含截距式)、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.特别地,要深刻理解每种直线方程形式的适用范围,例如直线方程的点斜式与斜截式的使用条件是直线斜率必须存在,此时多涉及分类讨论思想,按直线斜率存在和不存在两种情形分析.求直线方程常用的方法是待定系数法,熟练直线方程五种形式的相互转化. 1.考纲要求

理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.特别提示

(1)斜率与倾斜角的相互转化

①α≠90°,k=tanα;

②斜率值与倾斜角值的转化; ③斜率范围与倾斜角范围的转化,此时要结合y=tanx在［0,三角函数表示. (2)直线方程的三类、五种形式,要合理选用

2）和(2,π)的变化规律,以及反点斜式(含斜截式)

两点式一般式要深刻理解每种直线方程形式的适用范围,此时多涉及分类讨论的思想,如点斜式及斜截式的使用条件是直线斜率必须存在;两点式使用条件是直线既不与x轴垂直,也不与y轴垂直;截距式使用条件是两截距都存在且均不为零. (3)确定直线的方程有两条途径:一是用直线方程的五种形式,主要是待定系数法;二是用轨迹的定义,从直线的几何性质出发,建立方程,确定直线方程一般需两个独立条件. 精题选讲

案例1

求过点(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程. 解析：方法一：设所求直线的方程为xy=1, ab221,b1,a2,ab由已知可得解得或

1b1.a2|a||b|1.2∴所求直线的方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0. 方法二：因为直线在两坐标轴上的截距均存在,故直线斜率存在且不为0,故可设直线方程为

y-2=k(x+2). 令x=0可得与y轴的交点坐标y=2+2k,即(0,2+2k). 令y=0可得与x轴的交点坐标(S=2-2,0),故由题意可得

k12|2+2k|·|-2|=1, 2k

解得k=-2或k=1. 21

(x+2), 2∴所求直线的方程为y-2=-2(x+2)或y-2=即2x+y+2=0或x+2y-2=0. 说明：利用截距求面积要带上绝对值符号,利用待定系数法设直线方程时,注意所用方程的形式,设直线方程时要注意斜率的存在性,求解时要防止漏解. 案例2

若点A(2,-3)、B(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,求直线l的倾斜角及斜率的取值范围. 解析：结合图象,知直线l与线段AB有交点,

图7-1-1 3,kPA=-4,在这个旋转过程中,l的43斜率由kPB变化到无穷大,又由负无穷大变化到kPA,所以斜率的范围是（-∞,-4］∪［,+∞）,43倾斜角的范围是［arctan,π-arctan4］. 4方法一：只需直线l从PB逆时针绕P转到直线PA,而kPB=方法二：由线性规划思想,A、B两点有一点在直线l上或分布在直线两侧,当直线l斜率存在时设为k,则其方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,则应有下式成立［:(-3)k-(-2)-k+1］［·2k-(-3)-k+1］33,即直线l斜率的取值范围是（-∞,-4］∪［,+∞）, 443倾斜角的范围是［arctan,π-arctan4］. 433答案：l的斜率的取值范围是（-∞,-4］∪［,+∞）,倾斜角的范围是［arctan,π-arctan4］. 44≤0,解得k≤-4或k≥说明：在处理斜率范围和倾斜角范围问题时,由于涉及到正切函数的单调性和单调区间问题,学生往往容易出错,此时应该将角的区间分为［0, 2）和（2,π),分别与斜率值中的非负值和负数值部分对应,如k∈［-1,1］可分为［-1,0）和［0,1］,然后分别对应［案例3

若-3,π）和［0,］. 442＜α＜0,则直线x·tanα-y=0的倾斜角为(

) A.-α

B.2+α

C.π+α

D.2-α

解析：直线斜率k=tanα,

∵倾斜角0＜θ＜π,

-2＜α＜0,k=tanα=tan(π+α),2＜α+π＜π,

∴θ=α+π.

答案：C 说明：此种类型的题目需注意直线倾斜角的范围及三角函数部分中诱导公式的应用,诱导公式的应用是解决此题的难点. 案例4

△ABC的三个顶点分别为A(-3,0)、B(2,1)、C(-2,3).试分别求出: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上的中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线的方程. 方法点拨:根据不同条件求直线方程时,要合理选取直线方程的表示形式,同时还应注意不同直线方程的适用范围. 解析：(1)由题意,根据直线方程的两点式,可得BC边所在直线的方程为y1x2=,即3122x+2y-4=0. (2)由题意,BC中点P的坐标为(0,2),又A(-3,0),可由直线方程的截距式求得中线AD所在直线xy=1,即2x-3y+6=0. 32311(3)由题意,kBC==,其中点为(0,2),BC的垂直平分线的斜率为2,由直线方程的斜截222的方程为式,求得直线方程为y=2x+2,即2x-y+2=0. 说明：直线方程的五种形式各有其使用特征,在应用时要注意灵活的选择.