3.1.1 空间向量及其加减运算第二课时 公开课

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．

四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示；

（二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

当t

3．向量与平面平行：

lPBaAO已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

4．共面向量定理：

a

a



如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

MPxMAyMB上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

（三）例题分析：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP122OAOBOC，

555

试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知O

D

A

B

ABCD，从平面AC外一点O引向量

C

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

H

E

G

F

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，

kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH∴E,F,G,H共面；

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．

六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

七、作业：

1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，

求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

D1HEB1GC1A

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

FA1E

B

H

D

G

DABC

F

C