1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课一等奖教案

第七章

立体几何

第37讲

空间几何体的表面积和体积

考纲要求

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

1．空间几何体的表面积与体积

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

台体(棱台和圆台)

球

表面积

体积

分值：5分

2017·全国卷Ⅰ，16 2017·全国卷Ⅱ，15 空间几何体的结考情分析

命题趋势

2017·全国卷Ⅲ，9 构特征、三视图、直2017·江苏卷，6 2017·北京卷，6 2017·天津卷，11 观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视图及已知几何体的三视图求几何体的表面积和体积. S表面积＝S侧＋2S底

V＝__Sh__ 1V＝__Sh_ 31V＝(S上＋S下＋S上S下)h

34V＝__πR3__ 3

S表面积＝S侧＋S底

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝_4πR2__

三

空间几何体的表面积和体积

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；求组合体的表面积时要注意衔接部分的处理；求旋转体的表面积时要注意其侧面展开图的应用．

(3)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(4)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

(5)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

【例3】

(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为

(

C

)

12A．＋π

33

12B．＋π

33D．1＋2π

612C．＋π

36(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(

B

)

A．18＋365 B．54＋185 C．90 D．81

解析

(1)由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的对角线，所以球的直径2R＝2，即R＝2，所以半球的2221112体积为πR3＝π.又正四棱锥的体积为×12×1＝，所以该几何体的体积为＋π.故选C．

363336(2)由三视图可知，该几何体是底面为正方形(边长为3)，高为6，侧棱长为35 的斜四棱柱，其表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋185.故选B．

四

与球有关的切、接问题

(1)正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线长，此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

1(2)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由2球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．

(3)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．

(4)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

【例4】

(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(

A

) 81πA．

4B．16π

C．9π

27πD．

4(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

C

) 317A．

2B．210 13C．

2D．310 S163(3)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝！！！！____####. S2π(4)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为！！！！__36π__####. 解析

(1)如图所示，设球的半径为R，底面中心为O′且球心为O.

∵正四棱锥P－ABCD中AB＝2，

∴AO′＝2.

∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，

9∴R2＝(2)2＋(4－R)2，解得R＝. 49281π∴该球的表面积为4πR2＝4π×4＝4. (2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

151又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，

222所以球O的半径

R＝OA＝52＋62＝13. 2232(3)设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a＝3a2，其内切球半径为正421166S13a2632πa四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝. 443126S2π2πa6(4)设球O的半径为R，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，连接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB111×SC×OB×AO，即＝SC，∴AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝×S△SBC×AO＝×33211×2R×R×R，解得R＝3，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.

9＝×32

1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

A

)

πA．＋1

2πB．＋3

23πC．＋1

23πD．＋3 2解析

由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何1111π体的体积V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1.故选A．

32322

2．若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(

A

)

A．34π

B．35π

C．36π

D．17π

解析

由几何体的三视图知它的底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R为外接球的半径)，外接球表面积为S＝4πR2＝34π.故选A．

3．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(

D

)

A．4π＋16＋43

C．4π＋16＋23

B．5π＋16＋43 D．5π＋16＋23 解析

由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧1面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×3＝23；半圆柱的侧面积为21π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋23.故2选D．

4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等V13S19且＝，则的值是！！！！____####. V22S24解析

设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，V1πr21h1即r1h1＝r2h2.又＝2，

V2πr2h2V1r1r13S1r129∴＝，∴＝，则＝＝. V2r2r22S2r24

易错点

不能巧妙运用长方体和正方体解题

错因分析：不能借助长方体和正方体协助解题，使解题受阻．

【例1】

某几何体的一条棱长为m，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为7的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为6和5的线段，则m的值为(

) A．3

B．23

C．4

D．25 解析

将这条棱放在长方体内，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，对角线A′C为该棱，则CD′为该棱的正视图，长为7，A′C′为俯视图，长为5，CB′为侧视图，a＋b＝5，22长为6，则a＋c＝7，b2＋c2＝6，22

则A′C2＝a2＋b2＋c2＝9，则A′C＝3. 答案

A 【跟踪训练1】

(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(

D

)

A．60

B．30

C．20

D．10 解析

如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD的高为4，故该三棱锥的体积V11＝××5×3×4＝10. 32

练习

[解密考纲]考查空间几何体的结构特征、三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．

一、选择题

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(

B

)

A．2＋5

B．2＋25

4C．

32D．

311解析

三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是×2×2＋2××5×1221＋×5×2＝2＋25.故选B．

2

2．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是(

C

)

4A．

34B．

9C．6－2

D．36－6 解析

由三视图可知，该几何体为三棱锥，设内切球半径为r，则由棱锥的体积公式有111Sh＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，其中S＝×2×2＝2，h＝2，S1，S2，S3，S4分别是三棱锥四个面3321的面积，S1＝S2＝S＝2，S3＝S4＝×22×3＝6，所以4＝(4＋26)r，解得r＝6－2. 23．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为(

A

)

7A．

m3

29B．

m3

27C．

m3

39D．

m3

4解析

由三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，其体积为3个正方体的体积加三17棱柱的体积，所以V＝3＋＝.故选A．

22

4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(

B

)

A．90π

B．63π

C．42π

D．36π

解析

依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3、高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一1个底面半径为3、高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于×π×32×14＝63π.故2选B．

二、填空题

5．边长为2的正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积和体积分别为

12π，43π

解析

∵正方体的顶点都在球O的球面上，

∴正方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．

设球的半径为R，则2R＝22＋22＋22＝23，即R＝3，

∴球O的表面积为S＝4π×(3)2＝12π，

4体积为V＝πR3＝43π.

36．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是！！！！

29

####.

解析

根据三视图可知原几何体如图所示，最长棱为AC，

所以AE＝2，EB＝2，ED＝3，DC＝4，

所以EC＝5，所以AC＝29.