4.3.2 空间两点间的距离公式第一课时导学案

4.3.2 空间两点间的距离公式

连州市连州中学：唐丽芳

三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式应用。

教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角22坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)(y2y1).同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课

新知探究

提出问题

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

2222222⑤平面直角坐标系中的方程x+y=r表示什么图形？在空间中方程x+y+z=r表示什么图形？

⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 22讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),它

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是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD222222222222是直角三角形,所以BO=BD+OD,AO=AB+BO=AB+BD+OD=z+x+y,因此A到原点的距离是d=xyz. ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. 22④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),是同名坐222标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是222d=(x2x1)(y2y1)(z2z1),即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x+y=r表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x+y+z=r表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广. 2222222

图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出22|MN|=(x2x1)(y2y1). 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=222P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2). 222于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 应用示例

例1 求下列两点的距离

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(1)A(2,3,5),B(3,1,4);(2)A(6,0,1),B(3,5,7).

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误. 课堂练习

1.点A（1,2，-1），点C与点A关于xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则│BC│的值=________. 2、在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点 例2、如图正方形ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1的中心，求MN距离。

A1 D1

B1 M C1

N A D

B C

课堂练习

3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，│DA│=3,│DC│=3,│DD1│=2，点M在B1D1上，

│MB1│=2│D1M│,N是BC1的中点，求M,N两点间的距离。

D1 C1 M

A1 B 1

N D C

A B

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课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 作业

习题4.3 A组3,B组1、2、3.

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