习题2.4名师教学视频（文字实录）

抛物线及其标准方程

哈尔滨第十四中学

数学组

陈超

一、教学目标

(一)知识目标：

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

(二)能力目标：

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

(三)学科目标：

通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

（四）情感目标：

构造和谐的教学氛围，增强互动，促进师生情感交流。

二、教材分析

1．重点：抛物线的定义和标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识．) 2．难点：抛物线的标准方程的推导．

(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．) 3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．

(解决办法：向学生加以说明．) 三、活动设计

提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．．

2、教学过程

教学

环节

新 学生

活动

设计

意图

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平教师活动

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习课

第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．写出板书课题导 是“抛物线及其标准方程”．

入

思考并回答

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

2．简单实验

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

利用已经学过的椭圆和双曲线的指示导出抛物线的概念

学生自己动手实验构图，加深理解。

课件演示可以加强学生印象

板书的目的是向学生记忆深刻

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三

角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另

一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把

学生

绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角

动手

板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样

观察

铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来

归纳抛物线的定义。教师在课件中，给出动画演示，使学生加深印象。

并总结

新

课

讲

解

学生

回答

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（板书在黑板上）

(三)抛物线的标准方程

学生分组求方设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我程

们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简

单的形式呢？

学生：展开讨论．

新 让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角课 坐标系的几种方案：

讲 解

2- 30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

方案1：(由第一组同学完成，请完成的较好的同学来黑板板演．) 发现三种方程以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图那种更加简单适用。

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请完成的较好的同学来黑板板演)

最后有学生得出抛物线的标准方程

以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

课堂笔记上

分组讨论有利于学生的合作意识与竞争意识。

通过对三种方案的讨论可以激发学生的竞争思维，加强学习动力。加深知识印象

板书的目的是向学生记忆深刻

学生在课堂笔记上纪录知画表纪录识重点

知识重点

利于课下复习学习

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请完成的较好的同学来黑板板演)

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，有学生讨论出抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：课件演示

学生讨论出四种情况

课堂笔记上

画表

用学生自己得出结论，用利于理解与记忆。

学生自己讨论出的结果加深理解与记忆。

学生在课堂笔记上画表纪录知识重点

纪录知利于课下识重点

复习学习

将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

学生在课堂笔记上动笔做题

回归书本例题，以例题带动学学生对知识的理解与应用

方程是x2=-8y．

练

习

(1)焦点是F(3，0)；

学生在课堂笔

记上动笔做题

(3)焦点到准线的距离是2．

黑板板由三名学生演板，教师予以订正．答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；演

(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

教师在学生做题时巡视，对学生出现的问题加以帮助并改正。

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

以练习带动学习，加强学生的动手能力。使其更好地对知识加以理解

教师在学生做题时巡视，对学生出现的问题加以帮助并改正。

总

结

培养学生本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，学生边归纳总结并加以运用

讨论边总结：

的能力。

作

业

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；

(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

板

书

设

计

加深学识对知识形成过程的认知。

五、布置作业

记录作业，回家完成。

①巩固所学知识；

②通过作业及时发现学生掌握

状况，培养学生良好学习习惯。

教学反思：