3.4 生活中的优化问题举例ppt配套教案板书设计

课题:导数在不等式恒成立与能成立问题中的应用

主讲:罗斌

教学目标：

1.明确导数在不等式恒成立与能成立问题中的考题类型；

2. 理解“不等式恒成立与能成立问题”的解题思想为”化群体的比较为个体的比较”；

3.掌握其解题方法：”隔离法”和”主元法”

重点：不等式恒成立与能成立问题的考题类型及“不等式恒成立与能成立问题”的解题思想；

难点：解题方法：”隔离法”和”主元法”

课时数：2节

I.正向判定类: 例1.1)

求证: ln(1x)x,(x1)

解析: 1.

设f(x)xln(1x),(x1)

点拨1:

欲判定f(x)与0的关系,只需判定f(x)的最小值大于0,或最大值小于0.

1.2)

当0xye2，且xe试比较y1lnyx与1lnx的大小；

2.

设f(x)1lnxx,(x0)

点拨2: 构造新函数的要领是:其求导后,能判定符号或确定极值点.

练习1:

1. 设x(0,2),证明:sinxxtanx

2.

已知函数f(x)x2aln(x1). （I）若函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求a的取值范围； （II）证明：当a1时, 对任意xf(x1,x2[1,),都有1)f(x2)5xx

. 122

证明：（II）设xf(x1x2,则1)f(x2)x5f(x55x)51)x1f(x2)x2，令g(x)f(1x22222x,并判定其单调性,即证.

另证:

对任意xf(x1,x2[1,),总存在x0(1,),使1)f(x2)11xf(x0)2x02(x01)21x2x01x012(11)111252

例2.（安徽）设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR.

（I）求f(x)的单调区间与极值；

（II）求证：当aln21且x0时,exx22ax1.

证明：（I）略

（Ⅱ）设g(x)exx22ax1.(aln21,x0)

得g(x)ex2x2a,g(x)ex2, 令ex20xln2是g(x)在(0,)内的一个极小值点. g(x)g(ln2)eln22ln22a22ln22(ln21)0 g(x)exx22ax1.是(0,)的单增函数

故g(x)exx22ax1g(0)0

点拨3:在难以判定f(x)的符号时,可对f(x)二次求导, 再通过f(x)的符号,确定f(x)的单调性或极值点.

1 / 5

练习2：

1.

设a0,f(x)x1ln2x2alnx(x0)

(Ⅰ)令F(x)xf(x),试论F(x)在(0,)内的单调性并求极值; (Ⅱ)求证:当x1时,恒有xln2x2alnx1.

解: (Ⅰ) F(x)xf(x)x2lnx2a,(x0)F(x)1令F(x)0x2是F(x)的极小值点,

F(x)min(II)正解1: F(x)xf(x),f(x)2x2

xxF(2)22ln22a. F(x)2ln22a0,f(x)是(1,)上的增函数, xxf(x)f(1)11ln212aln10,xln2x2alnx1.

x2lnx2a,(x0), x22令g(x)x2lnx2a,(x0)g(x)1,由g(x)10x2是g(x)的极小值点, xxg(x)g(2)22ln22a0,f(x)0,f(x)是(1,)上的增函数, 正解2(二次求导): f(x)2f(x)f(1)11ln212aln10,xlnx2alnx1.

误解(整体代换): 由f(x)x2lnx02ax2lnx2a02a2lnx0x0

0,设其极小值点为x0,则f(x0)0x0xf(x)minx01ln2x0(2lnx0x0)lnx0,(x00)(lnx0x01)(lnx01)知lnx0x010,但不能确定(lnx01)与0的关系,故此解法失败!究其原因是:极值点x0的存在性存疑,且其位置更无法确定!

II.逆向求参类

例1：已知f(x)ln(x1)(x1),

（I）求g(x)f(x)ex1的单调区间；

（II）若对任意x0,不等式ln(ex1)f(ex)解：（I）g(x)ln(x1)ex1，g(x)当x0时,4xa恒成立,求实数a的取值范围.

31ex

x1当1x0时,11ex, g'(x)0，g(x)的单调递增区间是（-1,0）. x144

（II）由ln(ex1)f(ex)xa，设h(x)xln(ex1)ln(ex1),(x0)

334exex2(2ex1)(ex2) 则h(x)x

3e1ex13e2x1 当0xln2时,h'(x)0,h(x)在(0,ln2)上是减函数；

1；

1ex,g'(x)0;，单调递减区间是（0,）x1

当xln2时,h'(x)0,h(x)在(ln2,)上是增函数. h(x)minh(ln2)4ln2ln3ln632

aln632

3

例2. 已知函数f(x)x3x22ax在区间(,)上存在单调增区间，求实数a的取值范围.

111解:

f(x)x2x2a0在x(,)能成立(x2x)min2a,x(,)a

448

131214例3.设函数f(x)解: 对任意x0,设h(x)1ln(x1)k,若对任意x0,f(x)恒成立,求整数k的最大值；

xx11ln(x1)1ln(x1)(x1)(x1)k恒成立[]mink. xx1ln(x1)(x1)(1ln(x1))x1ln(x1),令h(x)0x1ln(x1)0, (x1),则h(x)[]22xxx

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x(,1再令(x)x1ln则(2)1ln30,(3)2ln40,于是必存在极小值点x0(2,3)使(x0)0,即x01ln(x01)0h(x)min1ln(x01)1x01(x01)(x01)x01,4x0133k. x0x0点拨4:在难以判定f(x)的符号,但能确定有极大(小)值点时,可令f(x0)0对最值表达式f(x0)进行整体代换,求出最值! ．．．

练习3: 1.

设函数f(x)ex(x2ax2a23a)

(Ⅰ)当a0时,确定函数f(x)的单调性; 3(Ⅱ)若a0时,函数f(x)的极小值为e,函数f(x)的极大值; 2(Ⅲ)若a1时,对x[1,1]都有(mn)e1f(x)(mn)e1,求zm2n2的取值范围. 解：(Ⅰ, Ⅱ)f(x)ex(x2(a2)x2a24a)，令f(x)0x2a,或xa2

(Ⅲ) 当a1,f(x)0x2,或x3

2.

已知函数f(x)(x2axa)exx2,aR.

f(x)(1)设函数g(x),当a0时,讨论g(x)的单调性.

x(2)若函数f(x)在x0处取得极小值,求a的取值范围. 解: (1)由g(x)(x1)ex1,令g(x)0x0；

当x0时g(x)0,x0时g(x)0.g(x)是(,0)上单减函数, g(x)是(0,)上单增函数. ,0)时,f(x)0; (2)由f(x)x[(x2a)ex2]知,若x0是的极小值点,则存在区间(,)，当x(22x(0,)时, f(x)0,均有(x)(x2a)ex20.于是x(,),有2axx恒成立2a(xx)max,ee222x,(xx)max. xeee22又0,002，故2a2a0

ee

3. 设函数f(x)a2lnxx2ax,a0. (1)求函数f(x)的单调区间；

（2）求所有的实数a，使e1f(x)e2对x[1,e]恒成立.

点拨5:在含参的恒成立问题中,利用一般性与特殊性的逻辑关联,往往能缩小参数的取值范围,从而减少分类讨论的情形!

例4. 已知函数f(x)mx3(213m2)x4x1,g(x)mx5.. 2 （Ⅰ）当m4时,讨论f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）是否存在m0使得对任意x1,x2[2,3],都有f(x1)g(x2)1恒成立.若存在,求实数m的取值范围；若不存在,说明理由.

练习4: 1. 已知函数f(x)lnxax

（Ⅰ）当a1a1(aR). x1时,讨论f(x)的单调性；

2

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1时,若对任意x1(0,2),存在x2[1,2],使f(x1)g(x2),求实数b的取值范围. 41a1解: (Ⅰ)由f(x)lnxax1(a,xR)

x211aax2x1a得：f(x)a2，令f(x)0, xxx2x11)当a0时, f(x)20x1是f(x)的极小值点,f(x)在(0,1)是单减函数; 在(1,)是单增函数. xax2x1a1a0x1,或x2)当a0时, f(x)

x2a1a(x1)21(1) 若a(即1=)时,

f(x)0,

f(x)在(0,)是单减函数. 22a2x1a1a(2)若a0(即1>0>)时,

1>0>,x1是f(x)的极小值点，f(x)在(0,1)是单减函数; 在(1,)是单增函aa

（Ⅱ）设g(x)x22bx4.当a数. (3)若0a1a1a1a1(即1<)时,x1是f(x)的极小值点，x是f(x)的极大值点f(x)在(0,1)和(,)是2aaa单减函数; 在(1,1a)是单增函数. a[点拨6:确定参数讨论范围的技巧:

①

最高次项系数的正负:0a

1a

1②

极值点的左右位置:1<0aa③

极值点在定义域的内外:0<

01/211a0a1

aa2

]

（Ⅱ）f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min,(x1(0,2),x2[1,2])

111,由(Ⅰ)(3)知:f(x1)min,于是(x222bx24)min

24292b(x2)min,x2[1,2].2b17b17. 2x248a

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例5. (全国新,21理）设函数f(x)=ex1xax2. （Ⅰ）若a0,求f(x)的单调区间; （Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围. 解：（I）略

（Ⅱ）当x≥0时f(x)ex1xax20f(x)min0,x[0,)

于是f(x)ex12axf(x)ex2a,令ex2a0

1)当a0时, f(x)0,f(x)是[0,)上的单增函数, f(x)f(0)e012a00,f(x)是[0,)上的单增函数, f(x)f(0)e010a020.

2) 当a0时, xln2a是f(x)的一个极小值点. 若2a1,则xln2a(0,),f(x)是[0,)上的单增函数, f(x)f(0)e012a00,f(x)是[0,)上的单增函数, f(x)f(0)e010a020

若2a1,则xln2a(0,),f(ln2a)f(0)e012a00. f(x)是[0,ln2]上的单减函数, f(ln2)f(0)e010a020.故：a12

练习5：

1.

(全国新,21文）设函数f(x)x(ex1)ax2

（Ⅰ）若a12,f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f(x)0,求a的取值范围

解：（I）略

（Ⅱ）当x≥0时f(x)0当x≥0时ex1ax0

(ex1ax)min0,x[0,)

设g(x)ex1ax,则g(x)exa,令exa0exa

1)当a0时, g(x)0,g(x)是[0,)上的单增函数, g(x)g(0)e01a00,a0

2)当a0时, xlna. 若a1,则xlna(0,),g(x)是[0,)上的单增函数, g(x)g(0)e01a00,0a1

若a1,则xlna(0,)是g(x)的一个极小值点, g(lna)g(0)e01a00.故：a1

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