1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案3

空间几何体的表面积与体积

一、教材分析

本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.

教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中

的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之

间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可

看成上底面半径为零的圆台

，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.

关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何

体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.

柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.

与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.

值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作

用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.

二、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对柱、锥、台和球体的研究，掌握它们之间的体积关系及体积公式。 (2)通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 （3）能运用几何体的体积公式灵活解决实际问题。 （4）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法 （1）通过长方体体积公式推导其它几何体体积公式。 （2）通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法，即让学生经历“倒沙实验”，发现半球体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱与圆锥的体积之差，通过“分割求近似值，再由近似和转化为球的面积”的方法，体会极限思想。

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法

有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心。

三、教学重点、难点

重点：推导空间几何体的体积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

四、学法和教学用具

1．学法：学生通过阅读教材，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤，借助课件进一步体会。

2．教学用具：多媒体辅助教学 五、教学过程 （一）创设情境 1、取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，

回忆长方体的体积公式或． 2、推动一下，改变形状，保持高不变，体积是否改变？ 3、两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？ （二）探究柱、锥、台的体积公式 1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．

柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积． 2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到.

3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．

4、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下： 1．球的体积：

（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积（2）利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系（课件演示）

（3）得到半径是Ｒ的球的体积公式2．球的表面积：

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）

图1 （1）若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. （2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. （3）半径为R的球的表面积公式： 四、数学运用 （一）例题讲解 例1．

有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8．已知底面六边形边长是12，高是10，内孔直径是．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是）

分析

六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可． 解：因为

所以一个毛坯的体积为

．

约有毛坯

（个）． 答：这堆毛坯约有251个．

例2．如图（2）是一个奖杯的三视图（单位是cm），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积。(精确到0.01cm) 解：采用斜二测画法。先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体。如图（3）

因为

所以这个奖杯的体积为 说明：计算组合体的体积时，应考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积。 （二）巩固深化、反馈矫正 P56 1~6 （三）课堂小结

柱、锥、台、球的体积公式及其相互关系